组合数学

对于很多计数类问题，有很多看到取模的模数就能想象到结果有多大，显然对于这一类问题搜索是不能解决的(当然，如果你觉得自己有足够的时间，那你搜索我也没意见)，组合数学便是对这些计数类问题进行优化

计数原理

1.加法原理

举个例子：从甲地到乙地有海陆空三种选择，坐船有3班，坐车有5班，坐飞机有2班，问从甲地到乙地共几种选择

解：这就是个幼儿园的题 3+5+2=10

加法原理(分类计数原理)：完成一件事情共有n类方法，第一类方法有n1种方案，第二类有n2种方案…那么完成这一件事共有n1+n2+n3+⋯种方法，注意分类需要不重不漏

2.乘法原理

依旧举个例子：从甲地到乙地需要途径A地，从甲地到A地有5种方法，从A地到乙地有3种方法，问从甲地到乙地共有几种选择

解：这个大概要小学水平了 5×3=15

乘法原理(分步计数原理)：完成一件事需要分成n步进行，第一步有n1种方法，第二步有n2种方法…那么完成这件事共有n1×n2×⋯种方法，依旧不重不漏

排列与组合

1.排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，用符号AmnAnm表示

Am,n=n×(n−1)×(n−2)×⋯×n−m+1=n!(n−m)!

2.组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号CmnCnm表示

Cm,n=Amn/Amm=n!/m!×(n−m)!

几种常用策略/方法

1）特殊元素和特殊位置优先策略

例：由0,1,2,3,4,5可组成多少个没有重复数字的五位奇数

解:由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。

先排末位共有C1,3，然后排首位共有C1,4，最后排其它位置共有A3,4

由分步计数原理得ans=C1,3×C1,4×A3,4

2）相邻元素捆绑策略

例：7人站成一排 ,其中甲乙相邻，且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解:先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共A5,5×A2,2×A2,2种不同的排法。

例：记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，求不同排法的数量。

解：第一步排两端，共有C1,5×C1,4(或A2,5)种排列方式

第二步将两个老人看作一个整体和剩余4个志愿者全排列，有A4,4种排列方式

第三步两个老人内部全排列，有A2,2种排列方式

所以共A2,5×A4,4×A2,2种排列方式

3）不相邻问题插空策略

例：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

解:第一步，排列2个相声和3个独唱，共有A5,5种方案

第二步，将四种舞蹈插入第一步排好的5个元素中间包含首尾两个空位共有A6,4种不同的方法,节目的不同顺序共有A5,5×A4,6种。

不相邻问题通常用插空法：

把要求不相邻的元素放在一边，先排其他元素，再将不相邻的元素插在已经排好的元素之间的空位上。

4）定序问题倍缩空位插入策略

例：7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法

解：共有不同排法种数是A7,7*A3,3

(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数

5）排列问题求幂策略

例：把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法

依此类推，由乘法原理共有76种不同的排法。

6）环排问题线排策略

例：8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人，并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!=7!种排法

 

一般地，n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法

如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列，共有Amnm种排法

7）多排问题直排策略

例：8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解：8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。

前排有2个特殊元素，方案数为A2,4

后4个位置上有一个特殊元素丙，方案数为A1,4

其余的5人在5个位置上任意排列，方案数为A5,5

共有A2,4×A1,4×A5,5种方案

8）排列组合混合问题先选后排策略

例：有5个不同的小球,装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，求共有多少不同的装法

解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C2,5种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A4,4种方法

根据分步计数原理装球的方法共有C2,5×A4,4。

9）平均分组问题除法策略

例：6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法

解：分三步取书得C2,6×C2,4×C2,2种方法，但这里出现重复计数的现象，每种方案计算了A3,3次，故最终答案为C2,6×C2,4×C2,2/A3,3

10）重排列

例：由四面红旗，三面蓝旗，二面黄旗，五面绿旗排成的一排彩旗有多少种？

解：将14面彩旗排成一个排列，方案数A14,14，其中红旗之间每种排列等价，方案数A4,4，以此类推

共有A14,14/A4,4×A3,3×A2,2×A5,5种

常用结论

将一个长度为n的序列划分成m段非空子串的方案数为Cm−1,n−1，相当于在n-1个空位中选择m-1个插入隔板的方案数

将一个长度为n个序列划分成m段可空子串的方案数为Cm−1,m+n−1，相当于在m+n-1个位置中选择m-1个作为隔板的方案数

博客内容摘自PPT