『嗨威说』数据结构 - 第六章学习内容小结
本文主要内容：（与树类似）
一、图的概念
二、图的重中之重——两种重要存储结构
三、树的升级拓展应用：最小生成树
四、本节应用习题
五、个人反思与未来计划
一、图的基本概念：
（1）图的定义：
图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
注意：线性表中可以没有元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。但是在图中不允许没有顶点，可以没有边。
（2）图的基本术语：
· 无向边：若顶点Vi和Vj之间的边没有方向，称这条边为无向边，用 （Vi，Vj）来表示。
· 无向图：图中任意两个顶点的边都是无向边。
· 有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，称这条边为有向边，也称为弧，用 <Vi, Vj> 来表示，其中 Vi 称为弧尾，Vj 称为弧头。
· 有向图：图中任意两个顶点的边都是有向边。
· 简单图：不存在自环（顶点到其自身的边）和重边（完全相同的边）的图。
· 稀疏图；有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
· 权：表示从图中一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。
· 网：带有权重的图。
· 度：与特定顶点相连接的边数。
· 出度、入度：有向图中的概念，出度表示以此顶点为起点的边的数目，入度表示以此顶点为终点的边的数目。
· 连通图：任意两个顶点都相互连通的图。
· 极大连通子图：包含竟可能多的顶点（必须是连通的），即找不到另外一个顶点，使得此顶点能够连接到此极大连通子图的任意一个顶点。
· 连通分量：极大连通子图的数量。
· 强连通图：此为有向图的概念，表示任意两个顶点a，b，使得a能够连接到b，b也能连接到a 的图。
· 连通图的生成树：一个极小连通子图，它含有原图中全部定点，但只有足以构成一棵树的 n-1 条变，这样的连通子图称为连通图的生成树。
· 最小生成树：此生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的。
（3）图的两种遍历方式：
· 深度优先遍历：（DFS常利用递归思想）
首先从图中某个顶点v0出发，访问此顶点，然后依次从v相邻的顶点出发深度优先遍历，直至图中所有与v路径相通的顶点都被访问了；若此时尚有顶点未被访问，则从中选一个顶点作为起始点，重复上述过程，直到所有的顶点都被访问。
· 广度优先遍历：（BFS常利用队列＋队列不为空循环思想）
首先，从图的某个顶点v0出发，访问了v0之后，依次访问与v0相邻的未被访问的顶点，然后分别从这些顶点出发，广度优先遍历，直至所有的顶点都被访问完。
二、图的重中之重 —— 已学习的两种存储结构：
（1）邻接矩阵：
图的邻接矩阵的存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
优缺点：
· 优点：结构简单,操作方便
· 缺点：对于稀疏图，这种实现方式将浪费大量的空间。
（2）邻接表：
邻接表是一种将数组与链表相结合的存储方法。其具体实现为：将图中顶点用一个一维数组存储，每个顶点Vi的所有邻接点用一个单链表来存储。这种方式和树结构中孩子表示法一样。
对于有向图其邻接表结构如下:
优缺点：
· 优点：本算法的时间复杂度为 O(N + E)，其中N、E分别为顶点数和边数，邻接表实现比较适合表示稀疏图。
· 缺点：操作繁琐
注：还有一种十字链表存储结构，暂未教学，等学习熟练之后再单独拿来写博
三、图的升级拓展之一：最小生成树 （贪心算法）：
（1）最小生成树的概念：
图的生成树是它的一棵含有所有顶点的无环连通子图。一棵加权图的最小生成树（MST）是它的一棵权值（所有边的权值之和）最小的生成树。
（2）最小生成树的两种实现算法：
· 普里姆算法（Prim）
实现过程：
从顶点0开始，首先将顶点0加入到树中（标记），顶点0和其它点的横切边（这里即为顶点0的邻接边）加入优先队列，将权值最小的横切边出队，加入生成树中。此时相当于也向树中添加了一个顶点2，接着将集合（顶点1，2组成）和另一个集合（除1,2的顶点组成）间的横切边加入到优先队列中，如此这般，直到队列为空。
· 克鲁斯卡尔算法（Kruskal）
实现过程：
按照边的权重顺序来生成最小生成树，首先将图中所有边加入优先队列，将权重最小的边出队加入最小生成树，保证加入的边不与已经加入的边形成环，直到树中有V-1到边为止。
注：具体实现代码暂未学习，仅了解实现过程，后续增加。
四、本章习题练习：
拯救007：（DFS）
在老电影“007之生死关头”（Live and Let Die）中有一个情节，007被毒贩抓到一个鳄鱼池中心的小岛上，他用了一种极为大胆的方法逃脱 —— 直接踩着池子里一系列鳄鱼的大脑袋跳上岸去！（据说当年替身演员被最后一条鳄鱼咬住了脚，幸好穿的是特别加厚的靴子才逃过一劫。） 设鳄鱼池是长宽为100米的方形，中心坐标为 (0, 0)，且东北角坐标为 (50, 50)。池心岛是以 (0, 0) 为圆心、直径15米的圆。给定池中分布的鳄鱼的坐标、以及007一次能跳跃的最大距离，你需要告诉他是否有可能逃出生天。 输入格式： 首先第一行给出两个正整数：鳄鱼数量 N（≤100）和007一次能跳跃的最大距离 D。随后 N 行，每行给出一条鳄鱼的 (x,y) 坐标。注意：不会有两条鳄鱼待在同一个点上。 输出格式： 如果007有可能逃脱，就在一行中输出"Yes"，否则输出"No"。 输入样例 1： 14 20 25 -15 -25 28 8 49 29 15 -35 -2 5 28 27 -29 -8 -28 -20 -35 -25 -20 -13 29 -30 15 -35 40 12 12 输出样例 1： Yes 输入样例 2： 4 13 -12 12 12 12 -12 -12 12 -12 输出样例 2： No
题目有一点点小坑，刚开始还过了五个测试点，只差一个测试点，但还好一两小时肝一下debug出来了，下面简单说一下题意：
有一个人在一个圆内，半径为7.5（这是个坑，不是15噢）单位，然后可以从圆内往外跳，但只有固定的几个点可以跳，而且能不能跳过去看这个人的最大跳跃距离。只要能跳出100*100的大矩形则说明可以逃生输出Yes，否则No
题目大意就是这样啦，简单拟定一下思路：
1、对于每一个点，用一个struct去实现其存储结构，存储其x、y坐标、能够跳到的点的编号、能够跳到点的数目、能否成为起跳点、能否成为终止点。
2、输入完x、y坐标点之后，扫一遍全点，链接能跳的点，并且判断能否成为起跳点，能否成为终止点。
3、特判一下当最大可跳距离大于42.5时，可以不用跳到鳄鱼，可以直接跳出矩形。
4、实现DFS深搜递归，打上vis数组。
现在我们来动手试一下吧~
首先，头文件，因为是ACMer选手，习惯了C语言的写法，各位小伙伴不必在意噢，只需要把scanf输入的东西换成cin，printf输出的东西换成cout就搞定了
#include<stdio.h> #include<math.h> #include<string.h> #define MAX 999
第二步，开始建立图结点的结构体：按上面我思路说的，存储其x、y坐标、能够跳到的点的编号、能够跳到点的数目、能否成为起跳点、能否成为终止点。
typedef struct ArcNode{ int x; int y; int num; int Next[MAX]; bool out = false; bool in = false; }ArcNode;
第三步，基本变量申明以及函数原型申明：
int N,maxJump,ans,vis[MAX]; void DFS(ArcNode *p,int i); void buildGraph(ArcNode *&p); void buildArc(ArcNode *&p); void searchInOut(ArcNode *&p);
第四步，对Main主函数进行模块化函数构建：
int main() { ArcNode *G; //建立结点 buildGraph(G); //导入结点内容 if(maxJump >= 42.5) //特判 { printf("Yes\n"); return 0; } buildArc(G); //扫一遍所有点，构造边，使能互相跳的点结合起来 searchInOut(G); //扫一遍所有点，判断是否能够成为起跳点和终止点 ans = -1; //答案初始化 for(int i = 1;i<=N;i++) if(G[i].in) //如果这个点是起跳点 { memset(vis,0,sizeof(vis)); //重置vis数组 DFS(G,i); //开始深搜 } if(ans == -1) printf("No\n"); //打印答案 else printf("Yes\n"); return 0; }
第五步，导入结点，比较简单：一个输入导入就可以了。
void buildGraph(ArcNode *&p) { scanf("%d %d",&N,&maxJump); p = new ArcNode[N+1]; for(int i = 1;i<=N;i++) scanf("%d %d",&p[i].x,&p[i].y); }
第六步，链接各点，实现保存可以互跳的点，这里需要两层for循环的遍历，可能效率优点不高，但简单粗暴
void buildArc(ArcNode *&p) { for(int i = 1;i<=N;i++) { for(int u = 1;u<=N;u++) { if(u == i) continue; if((maxJump * maxJump) >= (p[i].x-p[u].x)*(p[i].x-p[u].x)+(p[i].y-p[u].y)*(p[i].y-p[u].y)) //这里除了用sqrt还可以直接用平方比较，误差会小一点 { p[i].num++; p[i].Next[p[i].num] = u; //将可互跳的边导入 } } } }
第七步，搜索起始点和终止点，也是比较简单的，一个距离公式就好了。
void searchInOut(ArcNode *&p) { for(int i = 1;i<=N;i++) { if((maxJump + 7.5)*(maxJump + 7.5) >= p[i].x*p[i].x+p[i].y*p[i].y) p[i].in = true; if(maxJump >= 50 - abs(p[i].x) || maxJump >= 50 - abs(p[i].y)) p[i].out = true; } }
第八步，嵌套一下DFS递归就好了，注意递归的终止条件。
void DFS(ArcNode *p,int i) { vis[i] = 1; if(p[i].out == true) //如果搜到了这个点是终止点，说明这个人可以跳出去，那么就给答案变量做个标记。 ans = 1; if(p[i].num == 0) //递归终止条件 return; for(int u = 1; u<=p[i].num; u++) if(!vis[p[i].Next[u]])//防止递归循环需要一个标记数组 DFS(p,p[i].Next[u]); }
这样整个程序就完成啦~ 完整代码贴上：
1 #include<stdio.h> 2 #include<math.h> 3 #include<string.h> 4 #define MAX 999 5 6 typedef struct ArcNode{ 7 int x; 8 int y; 9 int num; 10 int Next[MAX]; 11 bool out = false; 12 bool in = false; 13 }ArcNode; 14 15 int N,maxJump,ans,vis[MAX]; 16 void DFS(ArcNode *p,int i); 17 void buildGraph(ArcNode *&p); 18 void buildArc(ArcNode *&p); 19 void searchInOut(ArcNode *&p); 20 int main() 21 { 22 ArcNode *G; 23 buildGraph(G); 24 if(maxJump >= 42.5) 25 { 26 printf("Yes\n"); 27 return 0; 28 } 29 buildArc(G); 30 searchInOut(G); 31 ans = -1; 32 for(int i = 1;i<=N;i++) 33 if(G[i].in) 34 { 35 memset(vis,0,sizeof(vis)); 36 DFS(G,i); 37 } 38 if(ans == -1) printf("No\n"); 39 else printf("Yes\n"); 40 return 0; 41 } 42 void buildGraph(ArcNode *&p) 43 { 44 scanf("%d %d",&N,&maxJump); 45 p = new ArcNode[N+1]; 46 for(int i = 1;i<=N;i++) 47 scanf("%d %d",&p[i].x,&p[i].y); 48 } 49 void buildArc(ArcNode *&p) 50 { 51 for(int i = 1;i<=N;i++) 52 { 53 for(int u = 1;u<=N;u++) 54 { 55 if(u == i) continue; 56 if((maxJump * maxJump) >= (p[i].x-p[u].x)*(p[i].x-p[u].x)+(p[i].y-p[u].y)*(p[i].y-p[u].y)) 57 { 58 p[i].num++; 59 p[i].Next[p[i].num] = u; 60 } 61 } 62 } 63 } 64 void searchInOut(ArcNode *&p) 65 { 66 for(int i = 1;i<=N;i++) 67 { 68 if((maxJump + 7.5)*(maxJump + 7.5) >= p[i].x*p[i].x+p[i].y*p[i].y) 69 p[i].in = true; 70 if(maxJump >= 50 - abs(p[i].x) || maxJump >= 50 - abs(p[i].y)) 71 p[i].out = true; 72 } 73 } 74 void DFS(ArcNode *p,int i) 75 { 76 vis[i] = 1; 77 if(p[i].out == true) 78 ans = 1; 79 if(p[i].num == 0) 80 return; 81 for(int u = 1; u<=p[i].num; u++) 82 if(!vis[p[i].Next[u]]) 83 DFS(p,p[i].Next[u]); 84 }
下面将具体的导入结点和DFS搜索过程打印出来，大家可以看看他的步骤流程：
五、个人反思及未来计划：
有一天老师跟我说了一句话，让我一直留着比较深的印象：
是啊，从开学到现在一直有不少人告诉我，大家能够专心干一件事，你真的就是很棒的人了。
而我，在上学期加了五个社团，Quanta、Eddy、数挖、ACM、招协，拖着班长，拖着五个兼职，我也不知道我怎么活下来的，大概是想把自己忙成狗 吧，把一些伤心的事情忘得一干二净。
下学期收了收心，退了几个社团，仅留ACM和数挖，班长的事情随着英剧的结束事情也少了不少，兼职也拖剩了一个，慢慢收心，大概上学期各个方面的接触，也让我逐步摸清了未来的发展方向。
就这样吧，努力计划做好每天该干的事情，不负身边人对我的期望，好好对待每一个人，去努力的带给他们快乐，带给自己快乐，带来更多的动力。
大二，大概有了方向了，嗯，努力干下去。
（1）图比较抽象的数据结构上基础有些不牢，进一步学习普里姆算法、克鲁斯卡尔算法、迪杰斯特拉算法等，特别是碰到链式存储的指针使用的时候，需要找时间给自己多加强这方面的学习。
（2）ACM集训队每天几道题，每周写一篇博客。
（3）完成论文标解并准备好论文演讲『Improving patch-based scene text script identification with ensembles of conjoined networks』
（4）完成论文标解并准备好论文演讲『汉老双语命名实体识别及对齐方法研究_韩锐』
