Comet OJ - Contest #11 题解&赛后总结
Solution of Comet OJ - Contest #11
A.eon
-Problem designed by Starria-
在模 10 意义下，答案变为最大数的最低位(即原数数位的最小值)和原数最低位的差。
令$S$为输入数字串，则答案为 $(\min_{i=1}^{n}S_i-S_n)%10$ 。
时间复杂度 $O(n)$ 。
B.usiness
-Problem designed by Winniechen-
这是一个很显然的动态规划问题。
令$g_{i,j}$表示第$i$天，手里有$j$个节点，最多会返还多少节点。
第$i$天获得节点的过程转移为$g_{i,j+f_j}=\max(g_{i,j+f_j},g_{i-1,j})$，而对于存储节点的过程，只需对每一种存储方式做一个完全背包即可。
C.elebration
-Problem designed by Starria-
定义长度不超过 $\frac{n-1}{2}$ ，且不含重复颜色的段为合法的段。记 $pre_x$ 为以 $x-1$ 为右端点的合法段最远的左端点， $nxt_x$ 为以 $x$ 为左端点的合法段最远的右端点。
枚举题面所述三元组中的 $a,b(a<b\le nxt_a+1)$ ，则合法的 $c$ 是 $(b,nxt_b+1]$ 与 $[pre_{a},n]$ 的交集。也就是说，当 $pre_{a}>nxt_b$ 时， $b$ 的贡献是 $nxt_{b}+2-pre_{a}$ 。
每次向右移动 $a$ 时，将 $(nxt_a+1,nxt_{a+1}+1]$ 区间内的 $b$ 的贡献挂在 $nxt_b$ 上，在移动 $pre_{a}$ 时将经过的贡献减去即可。
时空复杂度 $O(n)$ 。
利用数据结构可以简单地维护交集，这哪里卡得掉没有刻意去卡。
D.isaster
-Problem designed by Winniechen-
对于一个图很难处理，所以考虑将图简化，直接建立一棵生成树达到原来的效果。
由于我们询问的时候，要求只能走到编号 $\le y$ 的点，所以保留的边两端点编号的 $\max$ 应当尽可能小，这样就有更多的边可以被一次询问用到。
所以我们将边按照两端点的 $\max $ 排序，建立一棵 kruskal 重构树。（这个不会自行解决）
在此基础上维护一棵线段树和一个倍增数组，每次找到 kruskal 重构树上能到达的最高点，然后询问子树乘积和，修改就直接修改即可。
E.ffort
-Problem designed by Winniechen-
假设总攻击次数为 $k$ ，那么我们要把这 $k$ 次相同的攻击分配给 $n$ 个不同的人，根据插板法来看也就是在这 $k$ 次攻击里插 $n$ 个板。记令攻击次数恰为 $k$ 的方案为 $ans_1$ ，插板方法为 $ans_2$ ， $k$ 的贡献即为 $ans_1\times ans_2$ 。
维护 $k$ 次项系数为一个第 $i$ 种数据结构攻击次数中插 $k$ 个板的方案的多项式 $F_i(x)$ ，那么 $[xk]F_i(x)$ 就是第 $i$ 种里插 $k$ 个板的方案数了。
由于我们只有 $n$ 个板，所以多项式长度始终不超过 $n$ 。在模 $x^{n}$ 意义下做多项式快速幂，最后再将 $m$ 个多项式合并即可。
整体复杂度最优可以达到 $O(nm\log n)$ ， std 写的是 $O(nm\log n\log a_i)$ 。
F.arewell
-Problem designed by negiizhao-
令 $E_S$ 表示点集 $S$ 内部的边数， $E_{S,T}$ 表示 $S$ 与 $T$ 之间的边数， $F_S$ 表示 $S$ 是 DAG 的方案数。
枚举入度为 0 的点集 $T$ ，转移为 $F_S=\sum_{T\subseteq S,T\neq \varnothing }(-1)^{|T|-1}F_{S\backslash T}2^{E_{T,S\backslash T}}$ 。
$S$ 中入度为 0 的点集的每个子集都会算一次，对其简单容斥即可得到系数 $(-1)^{|T|-1}$ ，而系数 $2^{E_{T,S\backslash T}}$ 来自于 $S\backslash T \rightarrow T$ 的边只能断掉或指向 $T$ 。
对DAG计数稍有了解的人可以从这里开始阅读
$2^{E_{T,S\backslash T}}$ 可以写作 $2^{E_S - E_T - E_{S\backslash T}}$ ，因此原式化为$$\frac{F_S}{2^{E_S}}=\sum_{T\subseteq S,T\neq \varnothing }\frac{(-1){|T|-1}}{2{E_T}}\ast \frac{F_{S\backslash T}}{2^{E_{S\backslash T}}}$$
对上述式子进行子集卷积即可。
对DAG计数稍有了解的人可以从这里开始阅读$\surd$
赛中后吐槽总结
- BY Winniechen&Starria
出题人的一些吐槽
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为什么10min还没有人过B （在10min的时候
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为什么大家D都一直在Wa啊！
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为什么有人会写树状数组啊！
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CD是不是顺序反掉了啊……（这是Starria的锅！
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B看起来出难了（手动狗头）
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怎么有人1h不到就出F了！
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（看起来F卡人常数了….
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听说有人觉得题面不好，我不这么认为
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1.5h的时候，终于六道题的一血都出来了，这让出题人很激动
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2h的时候，终于有人A掉5道题了
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2h 10min的时候，终于有 >10个人切 四道题了
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2h 23min的时候，终于有第二个切E的人了！
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在最后的10min的时候，发现supy的F被卡常了
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然后终于出现了这场比赛唯一一个AK的选手！
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最后看起来，CD放反了，EF放反了
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为啥D题大家都没有发现$a_i ,v \le 10^9$会比$998244353$大
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为啥$B$题会有那么多人wa那么多发
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C题出题人为何如此毒瘤
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为何题面会出成这个样子
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尽请期待后天晚上的视频题解，届时出题人Winniechen和Starria会为大家讲解这次试题，并解答一些花絮！
出题人的一些自我坦白与反思总结
- 其实原来的题目不是这个样子的，只不过在考试前三天，F的算法出现了问题，今天才出好这个F的数据，所以让人感到抱歉
- 每道题的数据都被dreamoon加强过，原来我的数据菜得要死
- 然后两位（三位）出题人都是鸽子，都很能拖
- 主要负责人（Winniechen）多数时候不能及时的传递信息，并且不参照出题手册出题，让AA姐等工作人员感到棘手，在此我深表歉意
- 谢谢大家支持！
- 出题人的QQ：Winniechen 1967199892 , Starria 972808330
