数论小总结

质(素)数 ： 任何数都能表示为质数的乘积，这应该是由质数的概念决定的，因为质数指：“质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。” ，所以合数肯定等于质数*某数，而某数又可以用这样的规则拆分成质数的乘积！

另外有这样一个定理，如果a，x与n互质，则a*x与n互质！！！   因为a，x，n拆分成质数后，a，x与n拆分出来的质数是不同的，并且质数*质数并不会产生另外的质数，所以res=a*x的质数组成和n的质数组成是完全不同的，所以a*x与n互质~~~

乘法可取模证明：求a*b%m 设a=k1m+c1,b=k2m+c2  a*b=(k1m+c1)*(k2m+c2)=(k1k2+k1c2+k2c1)*m+c1c2=a%mod*(b%mod)

 

逆元：就把求 a (*1) /b%mod 时把1换成b^(φ(mod))==1 ,这样就能把分母约掉，然后化成乘法就可以先模后乘了！

求解逆元有三种方法     参考网址

费马小定理和欧拉定理的证明

扩展欧几里德证明

线性时间内求范围内所有整数的逆元

当m不是很大的时候(数组能够存起来的时候)可以线性时间求逆元。规定m为质数，
首先 1^(−1) ≡ 1(mod m)
然后我们设 m = k*x + r, r < x, 1 < x < p;
再将这个式子放到mod m意义下就会得到
k*x + r ≡ 0 (mod m)
两边同时乘上 x^(−1) * r^(−1)就会得到
k * r^(−1) + x^(−1) ≡ 0 (mod m)
x^(−1) ≡ −k * r^(−1) (mod m)
x^(−1) ≡ -(m/x) * (m%x)^(−1) (mod m)
从头开始扫一遍即可，时间复杂度O(n);

int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; ++i)
    inv[i] = (-p/i + p) * inv[p%i] % p;

 

欧拉降幂证明