数值分析之数值积分 4.X

求积公式

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \sum _{k=0}^n{A}_{k}f\left(x_k\right)$$

$A_k$ 为求积系数, $x_k$ 为求积节点

代数精度

定义

如果某个求积公式对于次数不超过 $m$ 的多项式均能准确地成立, 但对于$m+1$ 次多项式不准确成立, 则称该求积公式具有 $m$ 次代数精度

性质

$n+1$ 个互异节点可唯一确定至少具有 $n$ 次代数精度的求积公式

插值型求积公式

$$\begin{array}{l}{\int }_a^b\rho (x)f(x)dx\approx {\int }_a^b\rho (x)L_n(x)dx\\ =\sum _{i=0}^n({\int }_a^b\rho (x)l_i(x)dx)f\left(x_i\right)=\sum _{i=0}^n{A}_{i}f\left(x_i\right)\\ \text{ 其中 }{A}_i={\int }_a^b\rho (x)l_i(x)dx(i=0,1,\dots ,n)\end{array}$$

$l_i(x)$ 为第 $i$ 个节点的拉格朗日插值基函数

此 ($n+1$ 个节点的) 求积公式至少有 $n$ 次代数精度的充要条件时, 它是插值型的

求积公式收敛性与稳定性

收敛性

在求积公式中, 若

$$\underset{\begin{array}{c}n\to \mathrm{\infty }\\ h\to 0\end{array}}{lim}\sum _{k=0}^n{A}_{k}f\left(x_k\right)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

其中

$$h=\underset{1⩽i⩽n}{max}\{x_i-x_{i-1}\}$$

则称求积公式是收敛的.

稳定性

稳定性条件: 若求积公式中系数 $A_k>0$, 则此求积公式是稳定的

牛顿-柯特斯公式 (也为插值型求积公式)

$\mathit{n}$ 阶 Newton-Cotes公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b-a)\sum _{i=0}^n{C}_i^{(n)}f\left(x_i\right)$$

令

$$C_i^{(n)}=\frac{A_i}{b-a}=\frac{(-1{)}^{n-i}}{i!(n-i)!n}{\int }_0^n\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n(t-j)dt\text{ 称为Cotes系数. }$$

$$A_i=\frac{(-1{)}^{n-i}h}{i!(n-i)!}{\int }_0^n\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n(t-j)dt(i=0:n)$$

$$A_i={\int }_a^b{l}_i(x)dx=\frac{(-1{)}^{n-i}h}{i!(n-i)!}{\int }_0^n\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n(t-j)\mathrm{d}t(i=0:n)$$

将区间 $[\mathbf{a},\mathrm{b}]$ $n$ 等分, 取步长 $h=\frac{b-a}{n}$ , 等距节点 $x_i=a+ih(i=0:n)$ , 权函数 $\rho (\mathit{x})\equiv 1$ . 令 $\mathit{x}=\mathit{a}+\mathit{t}\mathit{h}$ , 则 Lagrange揷值基函数为

$$l_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{t-j}{i-j}(i=0:n)$$

梯形公式 (1次代数精度)

当 $n=1$ , $C_0^{(1)}=C_1^{(1)}=\frac{1}{2}$

辛普森公式 (3次代数精度)

当 $n=2$, $C_0^{(2)}=\frac{1}{6},C_1^{(2)}=\frac{4}{6},C_2^{(2)}=\frac{1}{6}$

$S=\frac{b-a}{6}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)].$

柯特斯公式 (5次代数精度)

当 $n=4$,Cotes 系数为 $C_0^{(4)}=\frac{7}{90},C_1^{(4)}=\frac{32}{90},C_2^{(4)}=\frac{12}{90},C_3^{(4)}=\frac{32}{90},C_4^{(4)}=\frac{7}{90}$ 故求积公式为

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{90}[7f(a)+32f\left(x_1\right)+12f\left(x_2\right)+32f\left(x_3\right)+7f(b)]$$

称为Cotes公式。

代数精度

当 $n$ 为奇数, $I_n(f)$ 有 $n$ 次代数精度

当 $n$ 为偶数, $I_n(f)$ 至少有 $n+1$ 次代数精度 (常用) $n$ 为偶数的N-C公式

复合求积公式

起源:

1. N-C公式当 $n$ 太大时不稳定
2. N-C公式当 $n$ 太小时误差大

复合梯形公式

将区间 $[a,b]$ 划分为 $n$ 等份, 分点 $x_k=a+kh,h=\frac{b-a}{n},k=0,1,\cdots ,n$ , 在每个子区间 $[x_k,x_{k+1}](k=0,1,\cdots ,n-1)$

$$T_n=\frac{h}{2}\sum _{k=0}^{n-1}[f\left(x_k\right)+f\left(x_{k+1}\right)]=\frac{h}{2}[f(a)+2\sum _{k=1}^{n-1}f\left(x_k\right)+f(b)]$$

复合梯形公式是 稳定的

复合辛普森求积公式

将区间 $[a,b]$ 分为 $n$ 等份, 在每个子区间 $[x_k,x_{k+1}]$ 上采用辛普森公式, 记 $x_{k+1/2}=x_k+\frac{1}{2}h$

$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{h}{6}\sum _{k=0}^{n-1}[f\left(x_k\right)+4f\left(x_{k+1/2}\right)+f\left(x_{k+1}\right)]\\ & =\frac{h}{6}[f(a)+4\sum _{k=0}^{n-1}f\left(x_{k+1/2}\right)+2\sum _{k=1}^{n-1}f\left(x_k\right)+f(b)],\end{array}$$

复合辛普森求积公式是 稳定的