数值分析之数值积分 4.X

求积公式

abf(x)dxk=0nAkf(xk)

Ak 为求积系数, xk 为求积节点

代数精度

定义

如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立, 但对于m+1 次多项式不准确成立, 则称该求积公式具有 m 次代数精度

性质

n+1 个互异节点可唯一确定至少具有 n 次代数精度的求积公式

插值型求积公式

abρ(x)f(x)dxabρ(x)Ln(x)dx=i=0n(abρ(x)li(x)dx)f(xi)=i=0nAif(xi) 其中 Ai=abρ(x)li(x)dx(i=0,1,,n)

li(x) 为第 i 个节点的拉格朗日插值基函数

此 (n+1 个节点的) 求积公式至少有 n 次代数精度的充要条件时, 它是插值型的

求积公式收敛性与稳定性

收敛性

在求积公式中, 若

limnh0k=0nAkf(xk)=abf(x)dx

其中

h=max1in{xixi1}

则称求积公式是收敛的.

稳定性

稳定性条件: 若求积公式中系数 Ak>0, 则此求积公式是稳定的

牛顿-柯特斯公式 (也为插值型求积公式)

n 阶 Newton-Cotes公式

abf(x)dx(ba)i=0nCi(n)f(xi)

Ci(n)=Aiba=(1)nii!(ni)!n0nj=0jin(tj)dt 称为Cotes系数. 

Ai=(1)nihi!(ni)!0nj=0jin(tj)dt(i=0:n)

Ai=abli(x)dx=(1)nihi!(ni)!0nj=0jin(tj)dt(i=0:n)

将区间 [a,b] n 等分, 取步长 h=ban , 等距节点 xi=a+ih(i=0:n) , 权函数 ρ(x)1 . 令 x=a+th , 则 Lagrange揷值基函数为

li(x)=j=0jinxxjxixj=j=0jintjij(i=0:n)

梯形公式 (1次代数精度)

n=1 , C0(1)=C1(1)=12

辛普森公式 (3次代数精度)

n=2, C0(2)=16,C1(2)=46,C2(2)=16

S=ba6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)].

柯特斯公式 (5次代数精度)

n=4,Cotes 系数为 C0(4)=790,C1(4)=3290,C2(4)=1290,C3(4)=3290,C4(4)=790 故求积公式为

abf(x)dxba90[7f(a)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(b)]

称为Cotes公式。

代数精度

n 为奇数, In(f)n 次代数精度

n 为偶数, In(f) 至少有 n+1 次代数精度 (常用) n 为偶数的N-C公式

复合求积公式

起源:

  1. N-C公式当 n 太大时不稳定
  2. N-C公式当 n 太小时误差大

复合梯形公式

将区间 [a,b] 划分为 n 等份, 分点 xk=a+kh,h=ban,k=0,1,,n , 在每个子区间 [xk,xk+1](k=0,1,,n1)

Tn=h2k=0n1[f(xk)+f(xk+1)]=h2[f(a)+2k=1n1f(xk)+f(b)]

复合梯形公式是 稳定的

复合辛普森求积公式

将区间 [a,b] 分为 n 等份, 在每个子区间 [xk,xk+1] 上采用辛普森公式, 记 xk+1/2=xk+12h

Sn=h6k=0n1[f(xk)+4f(xk+1/2)+f(xk+1)]=h6[f(a)+4k=0n1f(xk+1/2)+2k=1n1f(xk)+f(b)],

复合辛普森求积公式是 稳定的

posted @   WilliamHuang2022  阅读(239)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 分享一个免费、快速、无限量使用的满血 DeepSeek R1 模型,支持深度思考和联网搜索!
· 使用C#创建一个MCP客户端
· 基于 Docker 搭建 FRP 内网穿透开源项目(很简单哒)
· ollama系列1:轻松3步本地部署deepseek,普通电脑可用
· 按钮权限的设计及实现
点击右上角即可分享
微信分享提示