数值分析之数值积分 4.X
求积公式
为求积系数, 为求积节点
代数精度
定义
如果某个求积公式对于次数不超过
的多项式均能准确地成立, 但对于 次多项式不准确成立, 则称该求积公式具有 次代数精度
性质
个互异节点可唯一确定至少具有 次代数精度的求积公式
插值型求积公式
为第 个节点的拉格朗日插值基函数
此 (
个节点的) 求积公式至少有 次代数精度的充要条件时, 它是插值型的
求积公式收敛性与稳定性
收敛性
在求积公式中, 若
其中
则称求积公式是收敛的.
稳定性
稳定性条件: 若求积公式中系数
牛顿-柯特斯公式 (也为插值型求积公式)
阶 Newton-Cotes公式
令
将区间
等分, 取步长 , 等距节点 , 权函数 . 令 , 则 Lagrange揷值基函数为
梯形公式 (1次代数精度)
当
,
辛普森公式 (3次代数精度)
当
,
柯特斯公式 (5次代数精度)
当
,Cotes 系数为 故求积公式为 称为Cotes公式。
代数精度
当
为奇数, 有 次代数精度
当
为偶数, 至少有 次代数精度 (常用) 为偶数的N-C公式
复合求积公式
起源:
- N-C公式当
太大时不稳定 - N-C公式当
太小时误差大
复合梯形公式
将区间
划分为 等份, 分点 , 在每个子区间
复合梯形公式是 稳定的
复合辛普森求积公式
将区间
分为 等份, 在每个子区间 上采用辛普森公式, 记
复合辛普森求积公式是 稳定的
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