多点DLT (Direct Linear Transformation) 算法

阅读前可以先参看上一篇代数视觉博客:
四点DLT (Dierct Linear Transformation) 算法

对于大于4个点的数据点来进行 DLT 算法变换, 如果数据点的标注都十分准确,那么将所有数据点都放进 \(A\) 矩阵中进行求解的话, 与只放4个点没有区别,因为一致性会让矩阵 \(A\) 的秩仍为8.

但由于现实操作中, 数据点总是不准确带有噪声的, 盲目将全部点带入矩阵 \(A\) 会导致\(A\mathbf{h}=0\) 中的 \(\mathbf{h}\) 只有 0 解, 这并不是我们想要的. 因此我们需要进行改造

为了让所有点都可用,我们将所有点的数据构成的 \(A_i\) 矩阵的前两行组成 \(A\) 矩阵. 然后我们可以构造 \(A\mathbf{h}=0\). 但前面已经说明,这样直接求解会导致零解. 因此我们将等于零换为它们乘积的范数近似为0, 即$$||A\mathbf{h}||=0$$ 但为了避免 \(\mathrm{h}\) 为零解, 我们加入一项对 \(\mathrm{h}\) 的约束, \(||\mathbf{h}||=1\)

因此我们可以多点DLT的算法改成一个优化损失函数的算法

\[min~||A\mathbf{h}||~s.t.~||\mathbf{h}||=1 \]

进一步的,我们可以改写上式成

\[\min \frac{||A\mathbf{h}||}{||\mathbf{h}||} \]

算法表如下

引用: Multiple View Geometry in Computer Vision Second Edition