多元统计分析-矩阵复习

特别性质:

行列式

【定理】若 Ap×q , Bq×p , 则

|Ip+AB|=|Iq+BA|

证明:

[IpA0Iq][IpABIq]=[Ip+AB0BIq][Ip0BIq][IpABIq]=[IpA0Iq+AB]

所以上述两等式两边各取行列式,有

|Ip+AB|=|Iq+BA|


【定理】
|A1|=|A|1


矩阵的逆

【定理】若 AB 均为 p非退化方阵,则

[A00B]1=[A100B1]


幂等矩阵

【定理】若方阵满足 A2=A , 则称 A 为幂等矩阵

【定理】对称的幂等矩阵称为投影矩阵


特征值和特征向量

【定理】若 Ap×qBq×p ,则 ABBA 有相同的非零特征值。
证明:

[IpA0λIq][λIpABIq]=[λIpAB0λBλIq],[Ip0BλIq][λIpABIq]=[λIpA0λIqBA]|λIpAB0λBλIq|=|λIpA0λIqBA| ,即 λq|λIpAB|=λp|λIqBA|

AA 有相同的特征值。


【定理】若 A 为实对称矩阵, 则 A 的特征值全为实数


【定理】实对称矩阵的特征向量互相正交


【定理】
若 A 为非退化矩阵,当且仅当 A 的特征值均不为零;
若 A 为退化矩阵,当且仅当 A 至少有一个特征值为零。


【定理】若 A 可逆,相应于 λ1,,λp 的特征向量分别为 X1,,Xp ,则 A1p 个特征值为 λ11,,λp1 ,相应的特征向量仍可为 X1,,Xp


【定理】
A 为幂等矩阵,则 A 的特征值为 0 或 1 ;
A 为正交矩阵,则 A 的特征值为 1 或 -1 。


对称阵的谱分解

Ap×p=A ,则存在正交阵 T 及对角矩阵 Λ=diag(λ1,,λp) ,使得 A=TΛT


矩阵的奇异值分解

Ap×prank(A)=kU=(u1,,uk)p×kV=(v1,,vk)p×kΛ=diag(λ1,,λp) ,使得 A 可做如下奇异值分解:

A=UΛV=i=1kλiuivi

UAAT 的特征向量, VATA 的特征向量

矩阵的迹

投影阵的秩和迹相等

【定理】若 A 为投影阵, 则 tr(A)=rank(A)

正定矩阵

正定阵的逆正定

【定理】若 A 正定, 则 A1 正定


一个半正定阵可表示为两个相同等秩的矩阵的乘积

【定理】
A0p 阶秩为 r 的矩阵,则存在一个秩为 r (即列满秩) 的 p×r 矩阵 B ,使得 A=BB

对称阵正定当且仅当特征值都大于0

Ap 阶对称矩阵,则 A>0(0),当且仅当 λi>0(0),𝑖=1,,𝑝


半正定矩阵的秩等于正特征值的个数

半正定矩阵正定当且仅当行列式不等于0

设 𝑨≥𝟎,则 𝑨>𝟎 当且仅当 |𝑨|≠0。

矩阵的秩

两个相同矩阵乘积的秩等于原来的秩

rank(AA)=rank(AA)=rank(A)

特征值极值问题

【定理1.9.1】(柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式) 设 XY 是两个 p 维向量,则 (XY)2(XX)(YY) , " = " 成立当且仅当 Y=cX ,这里 c 为常数。

【定理1.9.2】(推广的柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式)设 B>0(XY)2(XBX)(YB1Y) , " = " 成立当且仅当 Y=cBX ,这里 c 为常数。

【证明】
由平方根矩阵的定义和柯西不等式,取 B>0 ,则 B1/2>0s.t.

[(B1/2X)(B1/2Y)]2[(B1/2X)(B1/2X)][(B1/2Y)(B1/2Y)]

(XY)2(XBX)(YB1Y)

posted @   WilliamHuang2022  阅读(247)  评论(0编辑  收藏  举报
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