多元统计分析-矩阵复习
特别性质:
行列式
【定理】若
, 则 证明:
所以上述两等式两边各取行列式,有
【定理】
矩阵的逆
【定理】若
和 均为 阶非退化方阵,则
幂等矩阵
【定理】若方阵满足
, 则称 为幂等矩阵
【定理】对称的幂等矩阵称为投影矩阵
特征值和特征向量
【定理】若
, ,则 和 有相同的非零特征值。
证明:
和 有相同的特征值。
【定理】若
为实对称矩阵, 则 的特征值全为实数
【定理】实对称矩阵的特征向量互相正交
【定理】
若 A 为非退化矩阵,当且仅当 A 的特征值均不为零;
若 A 为退化矩阵,当且仅当 A 至少有一个特征值为零。
【定理】若
可逆,相应于 的特征向量分别为 ,则 的 个特征值为 ,相应的特征向量仍可为
【定理】
若为幂等矩阵,则 的特征值为 0 或 1 ;
若为正交矩阵,则 的特征值为 1 或 -1 。
对称阵的谱分解
设
,则存在正交阵 及对角矩阵 ,使得
矩阵的奇异值分解
设
则 ,使得 可做如下奇异值分解:
是 的特征向量, 是 的特征向量
矩阵的迹
投影阵的秩和迹相等
【定理】若
为投影阵, 则
正定矩阵
正定阵的逆正定
【定理】若
正定, 则 正定
一个半正定阵可表示为两个相同等秩的矩阵的乘积
【定理】
设是 阶秩为 的矩阵,则存在一个秩为 (即列满秩) 的 矩阵 ,使得 。
对称阵正定当且仅当特征值都大于0
设
为 阶对称矩阵,则 ,当且仅当 。
半正定矩阵的秩等于正特征值的个数
半正定矩阵正定当且仅当行列式不等于0
设 𝑨≥𝟎,则 𝑨>𝟎 当且仅当 |𝑨|≠0。
矩阵的秩
两个相同矩阵乘积的秩等于原来的秩
特征值极值问题
【定理1.9.1】(柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式) 设
和 是两个 维向量,则 , " " 成立当且仅当 ,这里 为常数。
【定理1.9.2】(推广的柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式)设
, " " 成立当且仅当 ,这里 为常数。 【证明】
由平方根矩阵的定义和柯西不等式,取,则 , 即
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