网络流做题记录
\(P4177 [CEOI2008] order\)
\(Solution:\) 最大权闭合子图：给定一个有向图，点有点权，选择一个子图，满足子图上如果选择了一个点就必须选择它后继的所有点。最大化点权和。
不考虑租用机器时，\(1.\) \(S\) 向订单连流量为利润的边 \(2.\) 机器向 \(T\) 连流量为购买价格的边 \(3.\) 每个订单向需要的机器连流量为 \(inf\) 的边。
考虑租机器时，将订单向机器连边的流量改为租用价格。
signed main(){
read(n), read(m); memset(h, -1, sizeof h); S = 0, T = n + m + 1;
for(int i = 1, v, t, u, r; i <= n; i ++){
read(v); read(t); add(S, i, v);
for(int j = 1; j <= t; j ++) read(u), read(r), add(i, u + n, r); tot += v;
} for(int i = 1, v; i <= m; i ++){ read(v); add(i + n, T, v); }
print(tot - dinic()); return 0;
}
\(P4307 [JSOI2009]\) 球队收益 / 球队预算
\(Solution:\) 假设 \(m\) 场全输，考虑 \(i\) 赢一场的贡献为 \(C_i(a_i + 1)^2 + D_i(b_i - 1)^2 - C_i a_i^2 - D_ib_i^2=C_i + 2a_iC_i + D_i-2b_iD_i\)。
\(1.\) \(S\) 连向 \(m\) 场比赛 \((1,0)\) 的边 \(2.\) \(m\) 连向比赛相关两人 \((1,0)\) 的边 \(3.\) 连人到 \(T\) 很多边，每条边为 \((1,C_i + 2a_iC_i + D_i-2b_iD_i)\) 赢对应场数的贡献。
signed main(){
memset(h, -1, sizeof h); read(n), read(m); S = n + m + 1, T = S + 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++) read(a[i]), read(b[i]), read(c[i]), read(d1[i]);
for(int i = 1, x, y; i <= m; i ++){ read(x), read(y); b[x] ++, b[y] ++; cnt[x] ++, cnt[y] ++;
add(S, i, 1, 0), add(i, m + x, 1, 0), add(i, m + y, 1, 0); }
for(int i = 1; i <= n; i ++) sum += c[i] * a[i] * a[i] + d1[i] * b[i] * b[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= cnt[i]; j ++)
add(i + m, T, 1, c[i] + 2 * a[i] * c[i] + d1[i] - 2 * b[i] * d1[i]), b[i] --, a[i] ++;
int flow, cost; EK(flow, cost); print(sum + cost); return 0;
}
\(P4210\) 土地划分
\(Solution:\) \(1.\) \((S,i,va_i),(i,T,vb_i)\) \(2.\) 对于城市之间 \((u,v,{ea\over 2} +{eb\over 2} + ec)\) 双向边 \(3.\) \((S,u,{ea\over 2}),(S,v,{ea\over 2}),(u,T,{eb\over 2}),(v,T,{eb\over 2})\)。
inline void add1(int a, int b, int c){
e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
signed main(){ memset(h, -1, sizeof h);
read(n), read(m); S = 0, T = n + 1; for(int i = 0; i <= n + 1; i ++) f[i] = -1;
add1(S, 1, inf); add1(n, T, inf); for(int i = 2; i <= n - 1; i ++){
int x; read(x); x <<= 1; sum += x; add(S, i, x);
}for(int i = 2; i <= n - 1; i ++){
int x; read(x); x <<= 1; sum += x; add(i, T, x);
}for(int i = 1; i <= m; i ++){
int u, v, x1, x2, x3; read(u), read(v), read(x1), read(x2), read(x3);
x1 <<= 1, x2 <<= 1, x3 <<= 1; sum += x1 + x2;
add1(u, v, (x1 / 2 + x2 / 2 + x3)); add1(v, u, (x1 / 2 + x2 / 2 + x3));
add(S, u, x1 >> 1); add(S, v, x1 >> 1); add(u, T, x2 >> 1); add(v, T, x2 >> 1);
}n ++; print((sum - dinic()) >> 1); return 0;
}
*\(P2469 [SDOI2010]\)星际竞速
\(Problem:\) 给定 \(n\) 个点 \(m\) 条有向边的图，只能由编号小的点走向编号大的点（走），边通过时间固定。还可以通过对于每个点用固定的时间从任一点到达该点（跳）。求从一没有连边的点出发遍历改图的最小时间。
\(Solution:\) 想象有 \(n +1\) 个人接力跑，分别站在 \(S,1-n\) 上，开始时接力棒在 \(S\) 手上，相当于选择起点。\(S\) 开始接力跑到达一个星球就停止，移交接力棒，该星球上的选手继续比赛，每个星球只能到一次，最大费用最小流。
\(1.\) \((S,1_x-n_x,1,0)\) （等待接力） \(2.\) \((S,1_y-n_y,1,a_i)\)（跳）\(3.\) \((1_y-n_y,T,1,0)\) （到达星球）\(4.\) \((u_x,v_y,1,w)\) （走）。
signed main(){
read(n), read(m); memset(h, -1, sizeof h); S = 0, T = 2 * n + 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++){ read(a[i]); add(S, i + n, 1, a[i]); add(i + n, T, 1, 0), add(S, i, 1, 0); }
for(int i = 1; i <= m; i ++){
int u, v, w; read(u), read(v), read(w); if(u > v) swap(u, v); if(w < a[v]) add(u, n + v, 1, w); }
int flow, cost; EK(flow, cost); print(cost); return 0;
}
\(P2053 [SCOI2007]\) 修车
\(Solution:\) \(1.\) 将 \(m\) 位师傅拆为 \(nm\) 个点，点 \((i-1)n+j\) 表示第 \(i\) 位师傅在修第 \(j\) 辆车，连向每辆车 \((1,k·c_{i,j})\)\(2.\) \((S,m_i,1,0)\) \(3.\) \((n_i · m_i,T,1,0)\)。
signed main(){
memset(h, -1, sizeof h); read(m), read(n); S = 0, T = n * m + n + 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= m; j ++) read(c[i][j]);
for(int i = 1; i <= n * m; i ++) add(S, i, 1, 0);
for(int i = 1; i <= m; i ++) for(int j = 1; j <= n; j ++) for(int k = 1; k <= n; k ++){
int now = (i - 1) * n + k; add(now, j + n * m, 1, c[j][i] * k);
} for(int i = 1; i <= n; i ++) add(n * m + i, T, 1, 0); int flow, cost; EK(flow, cost);
printf("%.2lf", double(double(cost) / double(n)));
}
\(CF802O April Fools' Problem (hard)\)
\(Problem:\) \(n\) 道题, 第 \(i\) 天可以花费 \(a_i\) 准备一道题, 花费 \(b_i\) 打印一道题, 每天最多准备一道, 最多打印一道, 准备的题可以留到以后打印, 求最少花费使得准备并打印 \(k\) 道题。
\(Solution:\) 有一个显然的建图，\(1.\) \(S\) 向 \(i\) 连边，费用为 \(a_i\)，流量为 \(1\)。\(2.\) \(i\) 向 \(T'\) 连边，费用为 \(b_i\)，流量为 \(1\)。\(3.\) \(i\) 向 \(i+1\) 连边，费用为 \(0\)，流量为 \(\inf\)。\(4.\) \(T'\) 向 \(T\) 连边，费用为 \(0\)，流量为 \(k\)。
