ZJOI 2009 取石子游戏题解
\(0.\) 说明
本文作者：Altwilio 希望写的题解不要再被小破网站爬了。
本题解给出所有情况下保证先手必败的具体方案。
\(1.\) 题意
有一排 \(n\) 堆石子，两人轮流从最左或最右一堆取若干石子，不能取的人输。
问对于给定的初始局面，是否有先手必胜策略。
\(2.\) 思路
假设当前 \(i\) 到 \(j\) 堆已经固定。 如 [?] [i j] [?]，[?] 代表未固定。
设 \(left_{i,j}\) 表示我在 \(i\) 左边放多少个棋子先手必败。
结论是 \(left_{i,j}\) 存在且唯一。
使用反证法：假设有两个取值 \(a < b\) 使得先手必败，那么当先手取 \(b - a\) 个时，留给后手 \(a\) 个，后手必败先手就不必败了。所以 \(left_{i,j}\) 存在且唯一。
同理可以求出 \(right_{i,j}\) 表示我在 \(j\) 右边放多少个棋子先手必败。
则当 \(left_{2,n} = a_1\) 时，先手没有必胜策略。这句话就是字面意思，当在 \(a_2\) 左边也就是 \(a_1\) 放 \(left_{2,n}\) 是先手必败。
接下来是 \(\textbf{重点}\), 分析 \(left_{i,j}\) 如何递推，不分析 \(right_{i,j}\) 因为对称。
假设当前状态为 [?] [i j-1] [j(x)]，第 \(j\) 堆的大小为 \(x\)。则需要求 [?] 等于什么可以使状态 [?] [i j-1] [j(x)] 必败。
再定义一个 \(L\) 代表使状态 [?] [i j-1] 必败的 [?] 值，\(R\) 代表使状态 [i j-1] [?] 必败的 [?] 值。
然后就是大幅分类讨论啦！
情况1
\(R = x\)。
结论 [0] [i j-1] [x]。
在状态 [?] [i j-1] [x] 中 \(R = x\)，则 \(left_{i,j} = 0\)。
情况2
\(x < L, x < R\)。
结论 [x] [i j-1] [x]。
在状态 [x] [i j-1] [x] 中 \(x < L\)， \(x < R\)，先手取完后，后手只要在另一堆取相同的个数即可，最后这两堆肯定会存在先手取完后有一堆为 \(0\) 的情况，则状态为 [0] [i j-1] [y]，\(0 < y ≤ x\)。而此时的必败态只有 \(L\)，\(R\)，而 \(y<L,y<R\) 所以此时后手不必败，先手必败。
情况3.1
\(L>R\) 则有 \(R < x ≤ L\)。
结论 [x-1] [i j-1] [x]。
先手取右边：
先手把右边取到 \(R\)。后手把左边取完，先手面临必败状态。
先手把右边取到 \(x < R\)。后手把左边取到与右边相等，则转换为 情况2，先手必败。
先手把右边取到 \(x > R\)。后手把左边取到比右边小 \(1\)，则右边必然会到达 情况1 或 情况2。先手必败。
先手取左边：
先手把左边取到 \(x ≥ R\)。后手把右边取到 \(x + 1\)，则转换为 情况3.1。
先手把左边取到 \(x < R\)。后手把右边取到 \(R\)，则转换为 情况2。
则只要 左边 \(≥R\)， 右边 \(≥R+1\)， 后手保证左边比右边少一个，一旦左边或者右边有一个 \(<R\)，后手就保证左右两边一样多，就可以保证先手必败。
情况3.2
\(R > L\) 则有 \(L ≤ x < R\)。
结论 [x+1] [i j-1] [x]。
如果先手把左边取到 \(≥L+1\) 时，后手就把右边取到 \(≥L\)，后手永远保证左边比右边多 \(1\)。
如果先手把左边取到 \(L\) 时，后手就把右边取完，先手必败。
如果先手把左边或右边取到 \(<L\)，后手就保证左右两边一样多，先手必败。
则后手保证左边比右边多一个，一旦左边或者右边有一个 \(<L\)，后手就保证左右两边一样多，就可以保证先手必败。
情况4
\(x > L\) 且 \(x > R\)。
结论 [x] [i j-1] [x]。
意味着只要 \(x>L\) 且 \(x>R\)，左边和右边取一样多就行。
当 \(L>R\) 时。
先手取完后 \(>L\)，后手保证左右两边相同。
一旦先手把某一边个数取到 \((R,L]\) 后手保证左边比右边少一个，转换为 情况3.1。
一旦先手把某一边个数取到 \([R,L)\) 后手保证右边比左边多一个。
一旦先手把某一边个数取到 \((,R)\) 后手保证右边和左边一样多。
当 \(R>L\) 时，对称。
先手取完后 \(>R\)，后手保证左右两边相同。
一旦先手把某一边个数取到 \((L,R]\) 后手保证右边比左边少一个，转换为 情况3.2。
一旦先手把某一边个数取到 \([L,R)\) 后手保证左边比右边多一个。
一旦先手把某一边个数取到 \((,L)\) 后手保证右边和左边一样多。
\(3.\) 代码
const int N = 1010;
int n, a[N], l[N][N], r[N][N];
signed main(){
int T; read(T);
while(T --){
read(n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) read(a[i]);
for(int len = 1; len <= n; len ++){
for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++){
int j = i + len - 1; // 左端点 i 右端点 j
// 补充若区间只有一个堆，应取 [x][x][x]
if(len == 1) l[i][j] = r[i][j] = a[i];
else{
int L = l[i][j - 1], R = r[i][j - 1], X = a[j]; // 情况1
if(R == X) l[i][j] = 0; //情况2 情况4
else if(X < L && X < R || X > L && X > R) l[i][j] = X; //情况3.1 情况4.1
else if(L > R) l[i][j] = X - 1; //情况3.2 情况4.2
else l[i][j] = X + 1;
//以下对称
L = l[i + 1][j], R = r[i + 1][j], X = a[i];
if(L == X) r[i][j] = 0;
else if(X < L && X < R || X > L && X > R) r[i][j] = X;
else if(R > L) r[i][j] = X - 1;
else r[i][j] = X + 1;
}
}
}
if(n == 1) puts("1");
else print(l[2][n] != a[1]), puts("");
}
return 0;
}
