Codeforces Round #503 (by SIS, Div. 2) D. The hat

D. The hat

【题目描述】

交互式题目：
n 个人围成一圈，每个人有一个数字，满足相邻两个人数字之差的绝对值小于等于 1. 第 i 个人和第 $i + \frac n 2$ 个人相对而坐，现需知道是否存在相对的一组人拥有的数字相同。可以询问位置 $x$上的人所拥有的数字，询问的个数不超过60。

【算法】

设 $a[i]$ 表示位置 $i$ 上的人的数字，定义函数 $b[i]=a[i]-a[i+\frac n 2]$ ，则题目转换为求 $b[i]=0$ 的点，则 $b[i]$ 满足两个性质：
1、$b[i]=-b[i+\frac n 2]$
2、$\vert b[i+1]-b[i]\vert = ( 2,-2,0 )$
可以证明 $b[0]=-b[\frac n 2]$。又由于性质2，所有 b[i] 奇偶性均相同，故若 b[0] 为奇则答案不存在。反之若为偶，由于 $0\dots \frac n 2$ 上 b[i] 的值满足离散连续性（虽然是离散的数但是相邻的数满足连续性，故满足函数根的存在定理）。于是二分即可。
【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int ask(int x) {
    cout<<"? "<<x<<endl;
    int ans; cin>>ans;
    return ans;
}
int main() {
    cin>>n;
    int l=0,r=n>>1;
    int d2=ask(n>>1)-ask(n),d1=-d2;
    if(d2&1) { cout<<"! -1"<<endl; return 0; }
    else if(d2==0) { cout<<"! "<<r<<endl; return 0; }
    while(l<r) {
        int mid=(l+r)>>1;
        int d=ask(mid)-ask(mid+(n>>1));
        if(!d) {
            cout<<"! "<<mid<<endl;
            break;
        }
        else if(d*d1<0) r=mid;
        else l=mid;
    }
    return 0;
}