HDU 6097 Mindis（圆的反演）

题目：传送门

题意

已知一个圆心在原点O的圆的半径，给你两个点P,Q，|PO| == |DO|，P,Q不在圆外。在圆上取一点D，求 |PD| + |QD| 的最小值。

思路

点在圆内，会比较难处理，若点在圆外，则只需分两种情况即可：

1.直线PQ和圆相交，那么D一定是直线PQ和圆的交点中的任意一个，那答案就是 |PQ|；

2.直线PQ和圆想离，那么D一定是直线PQ的垂直平分线与圆的交点。

考虑怎么将圆内的点转移到圆外去。根据圆的反演的性质，在圆内的点反演后变为在圆外的点。

故把给定的圆作为反演圆，反演PQ，然后就是分成上面的两种情况。

还需要特判一下点 P,Q 重合的情况和点 P,Q在圆上的情况。

 

证明一下为什么将 P,Q 反演为 P',D'后，求 PD + QD 的最小值可以转化为求 P'D + Q'D 的最小值：

假设我们已经求出P,Q的反演点 P‘，Q’，由反演的性质有三角形P‘OD与三角形DOP相似；

PD = PO*P'D / r  同理有 QD = QO * Q'D / r；

其中PO == DO，那么有

PD + QD = PO / r * (P'D + Q'D)

PO / r 是一个定值，那么求PD + QD的最小值实际上也是求 P'D + Q'D的最小值。

 

下面介绍一下，直线与圆相离，求P'D + Q'D 的最小值的方法：

 

 

 对于直线P'Q'和圆相离的情况，考虑怎么求P'D+Q'D的最小值

首先可以通过 OP' * OD' = |OP'| |OD'| * cos(角P'OD')    （OP' * OD' 表示向量OP’和向量OD'的点积）求得 角P'OD' 的一半。

然后在三角形ODP'里面，我们已知角P'OD和边OP'和边OD，那么通过余弦定理可求得边DP‘，又 DP' = DQ'，故求得 DP' + DQ'

 

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define UI unsigned int
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--)
#define pb push_back
#define make make_pair
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf LLONG_MAX
#define PI acos(-1)
#define fir first
#define sec second
#define lb(x) ((x) & (-(x)))
#define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
const double eps = 1e-8;

struct Point {
    double x, y;
    Point(double a = 1.0, double b = 1.0) : x(a), y(b) {}
    Point operator + (const Point &a) { return Point(x+a.x, y+a.y); }
    Point operator - (const Point &a) { return Point(x-a.x, y-a.y); }
    Point operator * (const double a) { return Point(a*x, a*y); }
    Point operator / (const double a) { return Point(a/x, a/y); }
    void Input() { scanf("%lf %lf", &x, &y); }
    void Output() { printf("%.8f %.8f\n", x, y); }
};

struct Circle {
    Point o;
    double r;
    Circle(Point a = Point(), double b = 1.0) : o(a), r(b) { }
    Point getPoint(double alpha) { return o + Point(r*cos(alpha), r*sin(alpha)); }
    void Input() { o.Input(); scanf("%lf", &r); }
    void Output() { printf("%.8f %.8f %.8f\n", o.x, o.y, r); }
};

double Dot(Point A, Point B) {
    return A.x * B.x + A.y * B.y; /// 点积
}
double Length(Point A) { return sqrt(Dot(A, A)); }
double dis(Point a, Point b) { return sqrt((a.x-b.x) * (a.x-b.x) + (a.y-b.y) * (a.y-b.y)); }
double Cross(Point a, Point b, Point c) { return (b.x-a.x)*(c.y-a.y) - (c.x-a.x)*(b.y-a.y); }
double Cross(Point a, Point b) { return a.x*b.y - a.y*b.x; }
double Dot(Point a, Point b, Point c) { return (b.x-a.x)*(c.x-a.x) + (b.y-a.y)*(c.y-a.y); }
int dcmp(double x) { return (x > eps) - (x < -eps); }
bool operator == (Point A, Point B) { return dcmp(A.x-B.x) == 0 && dcmp(A.y - B.y) == 0; }

Point Point_Inver(Circle c0,Point P){
    Point OP = P - c0.o;
    double len = dis(c0.o,P);
    len = len*len;
    return c0.o + OP*( c0.r * c0.r / len );
}
Circle Circle_Inver(Circle c0,Circle a){
    Circle res;
    Point OA = a.o - c0.o;
    double len = dis(a.o,c0.o);
    Point up = c0.o + OA * ( ( len + a.r) / len );
    Point down = c0.o + OA *( (len - a.r) / len );
    up = Point_Inver(c0,up);
    down = Point_Inver(c0,down);
    res.o = (up+down) * 0.5;
    res.r = dis(up,down) * 0.5;
    return res;
}
Circle Line_Inver(Circle c0,Point a,Point b){
    Circle res = Circle();
    double d = fabs(Cross(a,c0.o,b) / dis(a,b));
    res.r = c0.r * c0.r / (2.0 * d);
    double len = Dot(a,b,c0.o) / dis(a,b);
    Point AB = b - a;
    Point c = a + AB * (len/dis(a,b));
    Point CO = c - c0.o;
    res.o = c0.o + CO * (res.r/d);
    //double len = dis(a,c[1].o);
    //res.o = c0.o + (a-c[1].o) * (res.r/len);
    return res;
}
double DistanceToSegment(Point p, Point A, Point B) { /// 求点 p 到线段 AB 的最短距离
    if(A == B) return Length(p - A);
    Point v1 = B - A, v2 = p - A, v3 = p - B;
    if(dcmp(Dot(v1, v2)) < 0) return Length(v2);
    else if(dcmp(Dot(v1, v3)) > 0) return Length(v3);
    else return fabs(Cross(v1, v2)) / Length(v1);
}

Circle c0;
Point P, Q;

void solve() {

    c0.o = Point(0, 0);
    scanf("%lf", &c0.r);

    P.Input(); Q.Input();

    double rate = dis(P, Point(0, 0)) / c0.r;

    if(dcmp(P.x - Q.x) == 0 && dcmp(P.y - Q.y) == 0) { /// 重合

        printf("%.8f\n", 2.0 * (c0.r - dis(Point(0, 0), P)));

    }

    else if(P.x * P.x + P.y * P.y == c0.r * c0.r) { /// 点在圆上

        printf("%.8f\n", dis(P, Q));

    }

    else {

        P = Point_Inver(c0, P); Q = Point_Inver(c0, Q); /// 点重演

        if(dcmp(DistanceToSegment(Point(0, 0), P, Q) - c0.r) > 0) { /// 直线PQ和圆相离

            double D=dis(P,Point(0, 0));
            double ang=acos(Dot(P,Q)/(D*D))/2.0; /// 求得角的一半
            printf("%.8f\n", rate * 2.0*sqrt(c0.r*c0.r+D*D-2*c0.r*D*cos(ang))); ///余弦定理

        }

        else { /// 相交

            printf("%.8f\n", rate * dis(P, Q));

        }

    }

}


int main() {

    int _; scanf("%d", &_);
    while(_--) solve();

//    solve();

    return 0;
}