第17届科大讯飞杯 C-张老师得旅行 （区间 DP ）

题目：传送门

题意

题目描述

张老师到了一个王国去旅游，王国有n个景点，张老师到达这个城市所在的车站恰好位于第x个景点，这个王国非常特别，恰好所有著名的景点都在分布在直线上，每个景点在坐标p_i上(单位：公里)，张老师身体非常好，每走一公里花费一分钟。每个景点都有一个打卡点，并且必须在不迟于相应的时间（时间从张老师到达王国开始计算）前到达才能打卡成功并且给以一个打卡标记，集齐所这些标记就能获得一个大礼包。由于张老师非常想要大礼包，并且因为张老师还着急去下一个王国旅游，所以张老师希望用的时间尽量少，你能帮帮张老师吗？

输入描述:

输入的第一行，包含一个整数n（1≤n≤1000）。
第二行包含n个整数p_i(1≤p_i≤100000)，第i个整数p_i为第i个景点的坐标（坐标从小到大排列）。
最后一行包含n个整数t_i(0≤t_i≤10,000,000)，t_i表示第i个景点最迟到达的时间，时间为0则表示张老师所在车站的位置且只有一个为0。

输出描述:

输出所需的最少时间，若无解输出-1。

思路

观察发现，在最少时间的前提下走过的点必然是连续的区间设为[l,r]，那么唯一的变化就是张老师最终位于区间的哪个端点。

设 dpL[i][j] 表示张老师走完了第 i ~ j 个景点且张老师当前在景点 i 所用的最少时间

dpR[i][j] 表示张老师走完了第 i ~ j 个景点且张老师当前在景点 j 所用的最少时间

那么递推式为

从景点 i + 1 走到景点 i

dpL[i][j] = min( dpL[i][j], dpL[i + 1][j] + abs(p[i + 1] - p[i]));

从景点 j 走到景点 i

dpL[i][j] = min( dpL[i][j], dpR[i + 1][j] + abs(p[j] - p[i]));

从景点 j - 1 走到 景点 j 

dpR[i][j] = min(dpR[i][j], dpR[i][j - 1] + abs(p[j] - p[j - 1]));

从景点 i 走到景点 j 

dpR[i][j] = min(dpR[i][j], dpL[i][j - 1] + abs(p[j] - p[i]));

注意，最短耗时小于等于对应景点的限制时间才可以更新

 最终答案就是 min(dpL[1][n], dpR[1][n]);

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define UI unsigned int
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--)
#define pb push_back
#define make make_pair
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf LLONG_MAX
#define PI acos(-1)
#define fir first
#define sec second
#define lb(x) ((x) & (-(x)))
#define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
using namespace std;

const int N = 1e3 + 5;
const LL mod = 1e9 + 7;

LL p[N], t[N], dpL[N][N], dpR[N][N];

void solve() {

    int n;

    scanf("%d", &n);

    rep(i, 1, n) scanf("%lld", &p[i]);

    rep(i, 1, n) scanf("%lld", &t[i]);

    rep(i, 0, n) rep(j, 0, n) dpL[i][j] = INF, dpR[i][j] = INF;

    rep(i, 1, n) if(t[i] == 0LL) dpL[i][i] = 0, dpR[i][i] = 0;

    rep(len, 2, n) { /// 枚举区间长度

        rep(i, 1, n - len + 1) { /// 枚举区间左端点

            int j = i + len - 1; /// 区间右端点
            
            LL tmp = dpL[i + 1][j] + abs(p[i + 1] - p[i]); /// 从景点 i + 1 走到景点 i

            if(t[i] >= tmp) dpL[i][j] = min(dpL[i][j], tmp); /// 若走到景点 i 的最短耗时小于 t[i] 才可以更新

            tmp = dpR[i][j - 1] + abs(p[j] - p[j - 1]); /// 从景点 j - 1 走到景点 j 

            if(t[j] >= tmp) dpR[i][j] = min(dpR[i][j], tmp); /// 若走到景点 j 的最短耗时小于 t[j] 才可以更新

            tmp = dpR[i + 1][j] + abs(p[j] - p[i]); /// 从景点 j 走到景点 i

            if(t[i] >= tmp) dpL[i][j] = min(dpL[i][j], tmp); /// 若走到景点 i 的最短耗时小于 t[i] 才可以更新

            tmp = dpL[i][j - 1] + abs(p[j] - p[i]); /// 从景点 i 走到景点 j

            if(t[j] >= tmp) dpR[i][j] = min(dpR[i][j], tmp); /// 若走到景点 j 的最短耗时小于 t[j] 才可以更新

        }

    }

    LL ans = min(dpL[1][n], dpR[1][n]);

    if(ans >= INF) puts("-1"); /// 没有更新到，也就是不能走完整个区间

    else printf("%lld\n", ans);

}

int main() {

//    int _; scanf("%d", &_);
//    while(_--) solve();

    solve();

    return 0;
}