FPGA定点数 量化及运算

FPGA量化/小数计算

定点数的量化

在FPGA开发时，对于浮点数，可以采用IEEE规定的浮点数格式，但那种浮点数运算的开销太大，对于小数位数比较少的浮点数，资源浪费又太多，可以采用定点数的形式来进行运算。

所谓定点数就是将小数点的位置固定，也就是说，整数部分和小数部分的位数固定，我们用整数来表示这个定点小数。

举个例子我们可以用(8,3)来表示8位二进制数据，其中最后的三位表示小数部分。

比如1.125，我们可以写成8'b00001001

因为小数部分是三位，相当于对于0~1 的小数，我们有\(2^3=8\)个刻度来表示，一个刻度的精度是\(1/8=0.125\)，那么对于0.125我们可以写成001 ，对于整数部分1就可以写成二进制数00001 合起来就写成00001001 ,从另一方面，因为(8,3)的一个刻度的精度是0.125，1.125有9个0.125的刻度，所以写成\(9(d)=00001001(b)\)

对于1.125用(8,3)定点数可以表示为\(-2^4\times 0 + 2^3 \times 0 + 2^2 \times 0 + 2^1 \times 0 + 2^0 \times 1 + 2^{-1} \times 0 + 2^{-2} \times 0 + 2^{-3} \times 1\)对于最开始的负号，表示符号位

对于负数-0.125来说，可以先求0.125的定点数形式，即00000001,再求补码即11111111,如果展开来即为

\(-2^4\times 1 + 2^3 \times 1 + 2^2 \times 1 + 2^1 \times 1 + 2^0 \times 1 + 2^{-1} \times 1 + 2^{-2} \times 1 + 2^{-3} \times 1\)

那么对于随机一个数，比如1.128来说，因为(8,3)定点数的精度为0.125，所以会丢失一些精度，所以我们需要先对其进行量化，我们可以先将1.128乘上\(2^3\),按照上面定点数的展开形式可以看出，这时数字中已经没有小数部分（最后一位\(2^{-3}\)已经被消去），\(1.128 \times 8 = 9.024\),这时结果中的小数部分即为1.128中不能被量化的部分，我们对9.024取整即为我们对小数进行量化后的结果9，然后我们可以再对9处于\(2^{3}\),转换为小数形式\(9 / {2^3}=1.125\)，再对其进行定点数的换算，当然可以直接用量化后的9乘上定点数的精度来进行换算。

定点数实际上就是精度数，而十进制小数可以写成
\(精度数 \times 定点数的精度\)
\(9 \times 0.125 = 1.125\)

定点数的运算

先以10进制为例。
如果我们能够计算12+34=46的话，当然也就能够计算1.2+3.4 或者 0.12+0.34了。所以定点小数的加减法和整数的相同，并且和小数点的位置无关。乘法就不同了。
12*34=408，而1.2*3.4=4.08。这里1.2的小数点在第1位之前，而4.08的小数点在第2位之前，小数点发生了移动。所以在做乘法的时候，需要对小数点的位置进行调整？！
可是既然我们是做定点小数运算，那就说小数点的位置不能动！！怎么解决这个矛盾呢，那就是舍弃最低位。 
也就说1.2*3.4=4.1，这样我们就得到正确的定点运算的结果了。所以在做定点小数运算的时候不仅需要牢记小数点的位置，还需要记住表达定点小数的有效位数。上面这个例子中，有效位数为2，小数点之后有一位。

对于定点小数的乘法运算，需要舍弃最低位，相应的就是向右进行移位，移位到我们规定的小数位数上(对于上面的例子要保证小数的位数为1位)，向右移位等同于直接对数进行相除，我们也可以直接对乘法结果进行相除。

一个例子比较直观

对于2.1和2.2进行（13，12）的量化

\(2.1 *2^{12}=8601.6=8602\)

\(2.2 * 2^{12} = 9011.2 = 9011\)

两个定点数直接相乘

\(2.1 * 2^{12} * 2.2 * 2^{12}\)
与我们想要的结果\(2.1 * 2.2 * 2^{12}\)多乘上了一个\(2^{12}\)，
所以需要将定点数直接相乘的结果除于\(2^{12}\)

参考引用
(21条消息) 针对FPGA的数据量化_nice_2808的博客-CSDN博客_fpga 量化
FPGA内部计算小数 - 天马行空W - 博客园 (cnblogs.com)