数电基础---逻辑函数的化简与变换

你的成功不意味着别人失败，别人的成功也不意味着你的无能——
你的事是你的事，别人的事是别人的事；
你的情感只是你自己的情感，别人的情感也只是他自己的情感

逻辑函数式的表示方法

对于一个逻辑函数式，我们要表示它，可以用这个逻辑函数式的真值表，逻辑函数式，用门级器件搭成的逻辑图，信号波形图，卡诺图，硬件描述语言等来表示，这几种表示方法都用来表示同一个逻辑函数式，在这种层次上这几种表示方法等价。

卡诺图

最大项与最小项

最小项：假设一个逻辑函数有n个变量，对于一乘积项m，m包含所有的n个变量，而且这n个变量均以原变量或者反变量的形式在m中出现一次，则称乘积项m为最小项。
举个例子，假如有三个变量\(A\),\(B\),\(C\),则这三个变量的最小项有\(ABC\),\(A^{\prime}BC\),\(AB^{\prime}C\),\(ABC^{\prime}\),\(A^{\prime}B^{\prime}C\),\(A^{\prime}BC^{\prime}\),\(AB^{\prime}C^{\prime}\),\(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\)八种，\(n\)个输入变量有\(2^{n}\)个最小项。

最大项：假设一个逻辑函数有n个变量，对于一项M为n个变量之和，M包含所有的n个变量，而且这n个变量均以原变量或者反变量的形式在M中出现一次，则称M为最大项。
比如三个变量\(A\),\(B\),\(C\)的最大项有：\((A+B+C)\),\((A^{\prime}+B+C)\),\((A+B^{\prime}+C)\),\((A+B+C^{\prime})\),\((A^{\prime}+B^{\prime}+C)\),\((A^{\prime}+B+C^{\prime})\),\((A+B^{\prime}+C^{\prime})\),\((A^{\prime}+B^{\prime}+C^{\prime})\)八个，\(n\)个输入变量有\(2^{n}\)个最大项。
最小项性质：
1，在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1
2，所有最小项之和为1
3，任意两个最小项的乘积为0
最大项性质：
1，在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为0
2，所有最大项之积为0
3，任意两个最大项的和为1
举个例子：当三个变量为\(0，0，0\)时，所对应的最大项只有\(A+B+C\)为0，其他都为1，所以任意两个最大项的和为1.
4，只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。！！！
举个例子:

\[(A+B+C)\cdot(A^{\prime}+B+C)=B+C \]

逻辑相邻性

如果两个最小项只有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性，具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。
比如\(ABC\)与\(A^{\prime}BC\)具有相邻性，这两个最小项之和可以合并成\(BC\)，消去了\(A\)。

无关项

对于有些项大前提是不会出现的，比如红绿灯里面三个灯同时亮，这是不会出现的，或者就算出现也无所谓，比如红绿灯就算三个灯亮，那么对于司机来说这是行驶（1）和停下（0）都无所谓了。
所以我们将不会出现的项或者对结果无所谓的项称为无关项。

卡诺图画法

将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列在一起，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。
将函数式中包含的最小项相应的位置填1，没有出现的最小项填成0，有的时候会限制无关项，无关项的位置填\(\times\)。实际上无关项对于我们来说要么不会出现要么无所谓，可1可0。
因为只有一个变量不同的最小项具有逻辑相邻性，所以对于一个最小项方块的上下左右都具有逻辑相邻性。对于卡诺图边界上的最小项相较于对应行或者对应列的另一端的最小项也只有一个变量不同，也具有逻辑相邻性，如果对于5变量的卡诺图，在一侧有三个变量，那三个变量这一侧以中间为对称轴，对称位置也相应相邻。

从图上可以看到对于5变量的卡诺图，\(m_1\)和\(m_5\)因为关于中间2次幂的中心轴对称所以也是逻辑相邻的(就一个变量不同)。
任何一个逻辑函数都能表示为若干个最小项之和，自然也可以用卡诺图来表示一个逻辑函数。
首先将逻辑函数化成最小项之和的形式，然后在卡诺图中与这些最小项对应的位置填入1，其余的位置填入0，就得到了该逻辑函数的卡诺图，任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。

真值表

将逻辑函数的输入变量在所有可能的情况下所对应的输出变量的结果找出来，放在表格里，就是逻辑函数的真值表。

逻辑函数的化简方法

公式法

运用逻辑代数的公式和定理，消去逻辑函数中多余的乘积项和每项中多余的因子。
没什么好说的，背公式和性质就完事了。
这里面有公式和性质==> 数电基础---逻辑代数

卡诺图法

1,画出表示逻辑函数的卡诺图
2,找出可以合并的最小项，把他们圈起来
3,选择化简后保留的乘积项，选取的原则一个是要包含卡诺图中所有的1（要包含函数时所有的最小项），另一个是用最少的可合并的圈将卡诺图中的1圈起来（所用的乘积项最少），而且希望每个圈尽可能大（每个乘积项的因子最少）。
注意为了使合并的圈最大，可以重复圈入某一项，对于无关项，在卡诺图上可1可0，所以在化简的时候也可以圈入无关项。

逻辑函数式的变换

在处理逻辑函数式的过程中，有时候（比如逻辑门区间的限制等）需要我们对逻辑函数式进行变换，从一种形式转换为另一种形式。因为同一个逻辑函数式可以写成很多种形式，所以逻辑函数式的变换是可能的。

与或形式转换为与非-与非形式

利用摩根定理将整个与或式两次求反，即可将与或形式化成与非-与非形式
比如：

\[Y = AB^{\prime}+A^{\prime}BD+CD^{\prime} \]

利用德摩根定律两次求反

\[Y=(Y^{\prime})^{\prime}=((AB^{\prime}+A^{\prime}BD+CD^{\prime})^{\prime})^{\prime} \\=((AB^{\prime})^{\prime}(A^{\prime}BD)^{\prime}(CD^{\prime})^{\prime})^{\prime} \]

与或形式转换为与或非形式

将不包含在函数式\(Y\)中的所有最小项相加，就得到\(Y^{\prime}\)，将这些最小项之和求反，就得到\(Y\)。
将不包含在函数式中的那些最小项相加，然后求反，得到函数式的与或非形式。
比如：

\[Y = A^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}+A^{\prime}BD+AB^{\prime}+B^{\prime}CD^{\prime} \]

可以先画出\(Y\)的卡诺图，找出非最小项之和即为\(Y^{\prime}\),因为\(Y^{\prime}\)是与或的形式，所以再对\(Y^{\prime}\)求反就得到了\(Y\)的与或非形式。

\[Y=(A^{\prime}B^{\prime}D+AB+BCD^{\prime})^{\prime} \]

与或形式转换为或与形式

方法一：先将与或式转换成与或非的形式，再利用德摩根定理将与或非式转换成或与形式
方法二：利用\(A+BC=(A+B)(A+C)\)。(最后化简结果不一定是最简)
比如：

\[Y=AC+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime} \]

方法一：先将\(Y\)换成与或非形式，再利用德摩根定律将与或非转换成或与形式。

先转换成与或非形式

\[Y=(A^{\prime}BC+AC^{\prime})^{\prime} \\=(A^{\prime}BC)^{\prime}\cdot(AC^{\prime})^{\prime} \\=(A+B^{\prime}+C^{\prime})(A^{\prime}+C) \]

方法二：利用\(A+BC=(A+B)(A+C)\),将与或形式转换成或与形式。

\[Y=AC+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime} \\=(A+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime})(C+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime}) \\=(A+B^{\prime}+C^{\prime})(C+A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}) \\=(A+B^{\prime}+C^{\prime})(A^{\prime}+C) \]

但问题是方法二的结果可能不是最简的，方法一在用卡诺图的时候就化简了，所以得到的结果应该是最简的了。

与或形式转换为或非或非形式

首先将与或形式转换为与或非形式，利用德摩根定律就可以将与或非形式转换成或非或非形式。
比如：

\[Y=A^{\prime}D^{\prime}+A^{\prime}B^{\prime}C+AC^{\prime}D+CD^{\prime} \]

先将\(Y\)换成与或非的形式，再利用德摩根定律将与或非中的与项换成或非项。

\[Y=(AC^{\prime}D^{\prime}+A^{\prime}C^{\prime}D+ACD+BCD)^{\prime} \\=((A^{\prime}+C+D)^{\prime}+(A+C+D^{\prime})^{\prime}+(A^{\prime}+C^{\prime}+D^{\prime})^{\prime}+\\(B^{\prime}+C^{\prime}+D^{\prime})^{\prime}) \]

转换为最小项之和的形式

先转换成与或的形式，在利用\(A+A^{\prime}=1\)将缺省的因子补齐。

转换为最大想之积的形式

将式子转换成或与的形式，再利用\(AA^{\prime}=0\)将缺少的因子补齐。