镜花水月, 树虚点实: 虚树学习笔记

Virtual Tree

揭开华丽的外衣, 关注问题的本质.
这就是虚树在做的事情, 所以虚树不虚, 反而是虚伪原树中最实在的部分, 所以它更应该被称作 "实树". 它在实际问题中常常回答完问题后就转瞬即逝, 所以给人的印象就是镜花水月一般的虚无飘渺, 现实中敢讲真话的人也有很多就这虚树一样消失了, 这或许就是人们称其为 "虚树" 的原因吧.

定义

一棵树, 多次询问, 每次询问给出一些关键点, 需要对整棵树遍历才能找到答案, 但是所有询问的关键点总数有限制.

这时就可以每次关于关键点建立原树的虚树, 只保留和关键点数量同阶数量的节点, 对虚树进行遍历求得询问的结果.

结合一道经典题展开对虚树的学习.

SDOI2011 消耗战

简化为一棵边带权的树, 每次询问把根节点和 \(k\) 个关键点断开所需要的最小花费.

朴素的做法是每个点 \(i\) 有一个值 \(f_i\) 表示把 \(i\) 子树中所有关键点和 \(i\) 断开连接的最小花费, 每次决策是否断开 \(i\) 到它每个儿子的边. 总复杂度 \(O(nm)\).

接下来引入虚树的做法. 首先把根节点也设为关键点, 因为询问是关于它的, 假设我们只把关键点和关键点两两的 LCA 提出来, 将剩下的点都删掉, 没有删除的点向自己最近的没有删除的祖先连边, 边权就是两点间路径的最小边权, 那么这棵树就是原树关于给出的关键点建立的一棵虚树. 我们从这棵树上求得的答案和原树上求的是等价的.

容易发现, 每次在关键点之外增加一个点加入虚树, 这个点一定有至少两个子树含有关键点, 它的出现合并了至少两个含有关键点的连通块. 因此如果有 \(x\) 个关键点, 那么最多会额外增加 \(x - 1\) 个点加入虚树, 所以虚树的规模是和关键点数量同阶的.

虚树的建立

其实我虽然没写过, 但是听说过虚树的建法, 看看是否能根据印象胡出来.

如果希望建立虚树, 需要提前预处理出每个点的 DFS 序, 根据虚树的定义, 容易发现虚树中各节点的 DFS 序就是原树中 DFS 序的相对顺序.

所以考虑增量构造, 把关键点关于 DFS 序排序, 假设已经建立好了前 \(i\) 个关键点的虚树, 这时需要加入后面的关键点, 我们希望把新加入的关键点和前 \(i\) 个关键点的 LCA 都加入虚树. 因为后面加入的关键点的 DFS 序递增, 因此它们和已经加入的第 \(x\) 个点的 LCA 的 DFS 序一定也是单调不降的. 因为 LCA 是最低公共祖先, 所以它怎么样都是第 \(x\) 个关键点的祖先, 一个点的祖先的 DFS 序单调不降, 也就是这些祖先的深度单调不降.

根据定义暴力构造就是两两求出 LCA, 把这些点按 DFS 序排序, 直接构造出一棵树, 如果有 \(k\) 个关键点, 复杂度 \(O(k^2\log n)\).

所以假设 \(x\) 后面加入的某个点和 \(x\) 的 LCA 深度是 \(D\), 那么 \(x\) 的深度大于 \(D\) 的祖先都永远不会作为后面点和 \(x\) 的 LCA. 因此朴素的做法是每个已经加入的点都处理一个单调栈, 一开始压入它所有的祖先, 每次加入新的关键点, 枚举前面所有关键点, 将 LCA 加入虚树, 弹出所有比 LCA 深的点. 如果有 \(k\) 个关键点, 这样做的复杂度是 \(O(k (n + k\log n))\) 的, 貌似更劣了.

发现加入了 \(i\) 个关键点的时候, 已经加入的点的单调栈的并是一个从根节点到第 \(i\) 个关键点的路径. 这是因为对于所有前 \(i - 1\) 个关键点, 比它和 \(i\) 的 LCA 深的祖先都被弹出了. 换句话说, 所有栈中不是第 \(i\) 个关键点的祖先的点都被弹出了.

我们可以尝试不维护所有的栈, 全局只维护一个栈, 也就是这条路径. 加入点 \(i + 1\) 的时候, 设它和第 \(i\) 个关键点的 LCA 为 \(u\). 将栈中 \(u\) 到关键点 \(i\) 的路径弹出, 压入 \(u\) 到关键点 \(i + 1\) 的路径. 对于已经插入的关键点, 它们和关键点 \(i + 1\) 的 LCA 不会比 \(u\) 深, 因此这些关键点和关键点 \(i + 1\) 的 LCA 也就是它们和 \(u\) 的 LCA, 也就是它们和关键点 \(i\) 的 LCA, 这些点显然已经加入虚树了, 所以无需讨论, 每次插入时只要把 \(u\) 加入虚树即可. 如果有 \(k\) 个关键点, 这样做的复杂度是 \(O(k\log n + n)\) 的.

重新审视我们的过程, 发现维护这个路径只是为了求边权, 所以根本不需要维护这条路径, 有用的只有栈中所有被加入虚树的点, 我们每次弹出点的时候, 用各种树上数据结构来求出路径信息作为边权即可. 假设求路径信息的复杂度是 \(t\), 有 \(k\) 个关键点, 那么复杂度可以优化到 \(O(k(\log n + t))\).

代码实现

我们用倍增求 LCA, 顺便求路径最小值. 可以做到 \(O((n + \sum k)\log n)\). 代码还是很清晰的, 调完了样例就过了, 好久没有一遍过的感觉了.

这是我第一次写虚树, 所以代码还没有那么成熟.

unsigned m, n;
unsigned A, B, C, D, t;
unsigned Cnt(0), Ans(0), Tmp(0);
struct Tree {
  vector<pair<Tree*, unsigned> > E;
  Tree* Fa[19];
  unsigned Min[19], Dep, DFSr;
  inline void DFS() {
    DFSr = ++Cnt, memset(Min + 1, 0x3f, 72);
    for (unsigned i(0); Fa[i]; ++i)
      Fa[i + 1] = Fa[i]->Fa[i], Min[i + 1] = min(Min[i], Fa[i]->Min[i]);
    for (auto i:E) if(Fa[0] != i.first) 
      i.first->Dep = Dep + 1, i.first->Fa[0] = this, i.first->Min[0] = i.second, i.first->DFS();
  }
  inline unsigned Qry(Tree* Ac) {
    Tree* x(this);
    unsigned Rt(0x3f3f3f3f);
    for (unsigned i(17); ~i; --i)
      if((x->Fa[i]) && (x->Fa[i]->Dep >= Ac->Dep)) Rt = min(Rt, x->Min[i]), x = x->Fa[i];
    return Rt;
  }
}T[250005];
inline Tree* LCA(Tree* x, Tree* y) {
  if(x->Dep < y->Dep) swap(x, y);
  for (unsigned i(17); ~i; --i) 
    if((x->Fa[i]) && (x->Fa[i]->Dep >= y->Dep)) x = x->Fa[i];
  if(x == y) return x;
  for (unsigned i(17); ~i; --i)
    if(x->Fa[i] != y->Fa[i]) x = x->Fa[i], y = y->Fa[i];
  return x->Fa[0];
}
struct Node {
  vector<Node*> Son;
  Tree* Ori;
  unsigned long long f;
  unsigned ToFa;
  inline const char operator< (const Node& x) const {return Ori->DFSr < x.Ori->DFSr;}
  inline void AddSon(Node* x) {
    Son.push_back(x);
    x->ToFa = x->Ori->Qry(this->Ori);
  }
  inline void DFS() {
    for (auto i:Son) i->DFS(), f += min((unsigned long long)i->ToFa, i->f);
  }
}N[250005], *Stack[250005], *CntN(N), **STop(Stack);
signed main() {
  n = RD();
  for (unsigned i(1); i < n; ++i) {
    A = RD(), B = RD(), C = RD();
    T[A].E.push_back({T + B, C});
    T[B].E.push_back({T + A, C});
  }
  T[1].Min[0] = 0x3f3f3f3f, T[1].Dep = 1, T[1].DFS(), m = RD();
  for (unsigned i(1); i <= m; ++i) {
    while (CntN > N) (CntN--)->Son.clear();
    A = RD(), CntN = A + N + 1, STop = Stack;
    for (unsigned j(1); j <= A; ++j) 
      N[j].f = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f, N[j].Ori = T + RD(), N[j].Son.clear(), N[j].ToFa = 0;
    N[++A].Ori = T + 1, N[A].f = 0, sort(N + 1, N + A + 1), *(++STop) = N + 1;
    for (unsigned j(2); j <= A; ++j) {
      Tree* Lca(LCA(N[j].Ori, N[j - 1].Ori));
      while((STop > Stack + 1) && ((*(STop - 1))->Ori->Dep >= Lca->Dep))
        (*(STop - 1))->AddSon(*STop), --STop;
      Tree* Top((*STop)->Ori);
      if (Top == Lca) {*(++STop) = N + j; continue;}
      Node* Cur(++CntN);
      Cur->Ori = Lca, Cur->f = 0;
      if (Top->Dep > Lca->Dep) Cur->AddSon(*(STop--));
      *(++STop) = Cur, *(++STop) = N + j;
    }
    while (STop > Stack + 1) (*(STop - 1))->AddSon(*STop), --STop;
    N[1].DFS();
    printf("%llu\n", N[1].f);
  }
  return Wild_Donkey;
}