全网首个严格证明的双连通图的基本性质

双连通图的性质和证明

性质

首先讨论边双, 任选两点 $u$, $v$, 一条边 $e$, 一定能找到至少一条简单路径 (不经过同一条边两次), 经过 $e$ 连接 $u$, $v$.

然后讨论点双, 任选三点 $u$, $v$, $w$, 一定能找到至少一条简单路径 (不经过同一个点两次), 经过 $w$ 连接 $u$, $v$.

边双连通

说明: 在边双图的讨论中, 两条路径不相交指这两条路径不存在公共边.

对于边双的性质, 可以转化为找两条不相交的, 不经过 $e$ 的路径, 使得对于 $e$ 的两个端点 $e1$, $e2$, 连接 $e1$ 和 $v$, $e2$ 和 $u$, 或者是连接 $e1$ 和 $u$, $e2$ 和 $v$.

我们知道定义: 边双图任意两点间至少可以找到两条互不相交的路径.

因为路径在连通图一定能找到, 我们需要保证的是这些路径不交. 首先我们可以避免 $e$, 因为如果有一条 $u$ 到 $e1$ 的路径经过了 $e$, 我们可以选择将这条路径去掉 $e$, 使其变成 $u$ 到 $e2$ 的路径, 如果这时 $v$ 到 $e1$ 的一条路径也经过 $e$, 我们可以直接选择 $v$ 到 $e1$ 的另一条路径, 根据定义, 可以找到对应路径使得它和上一条路径不相交, 这样就不会有公共边 $e$ 了.

一定存在简单环 $u/v - e1 - e2$

这是最坏的情况, 因为其它情况会存在两条不经过 $e$ 的路径, 这样可以构造一条 $u - e2$ 的路径, 它和一条不经过 $e$ 的简单路径 $u - e1 - e$ 构成一个简单环.

证明这个结论, 我们讨论随便找一条 $u - e2$ 的路径, 如果包含 $e$, 则找另一条, 这时得到的路径可能和 $u - e1$ 的路径有交, 将两条路径的公共部分 $u - x$ 记为 $UX1$, 将剩下的部分记为 $XE1$ 和 $XE2$, 这三部分无交.

取 $u$ 到 $x$ 的另一条路径记为 $UX2$, 假设路径上从 $u$ 出发沿 $UX2$ 经过的第一条 $XE1/XE2$ 的公共边的靠近 $u$ 的端点为 $a$, 则记 $UX2$ 的 $u - a$ 段为 $UA$, $a - e1/e2$ 段为 $AE1/AE2$, 这时找到简单环 $UX1 - XE1/XE2 - e - AE2/AE1 - UA$.

对 $v$ 也有同样的结论.

所以我们现在记两个简单环中, 经过 $e$ 的, 连接 $u/v - e1/e2$ 路径为 $UE1/UE2/VE1/VE2$, 因为是简单环, 所以 $UE1$ 和 $UE2$ 无交, $VE1$ 和 $VE2$ 无交, 他们都和 $e$ 无交.

存在 $UE1$ 和 $VE2$ 无交或 $UE2$ 和 $VE1$ 无交

则直接找到可行路径 $UE1 - e - VE2$ 或 $UE2 - e - VE1$.

仅满足 $UE1$ 和 $VE1$ 无交 (省略讨论 $UE2$ 和 $VE2$ 无交仍不失一般性)

设 $UE1$ 和 $VE2$ 的靠近 $u$ 的交边的靠近 $u$ 的交点是 $a$, 记 $UE1$ 的 $a - u$ 段为 $AU$, $VE2$ 的 $a - e2$ 段位 $AE2$.

因为 $UE1$ 和 $VE1$ 无交, 所以 $AU$ 和 $VE1$ 无交.

因为 $VE2$ 和 $VE1$ 无交, 所以 $AE2$ 和 $VE1$ 无交.

因为 $AU$ 和 $AE2$ 由 $a$ 分开, 且 $UE1$ 的 $AU$ 段和 $VE2$ 无交, 所以 $AU$ 和 $AE2$ 无交.

因为 $VE2$ 和 $UE1$ 都不包含 $e$, 所以 $AU$ 和 $AE2$ 都和 $e$ 无交.

又因为 $e$ 和 $VE1$ 无交, 找到合法路径 $AU - AE2 - e - VE1$.

$UE1$ 和 $VE1$, $VE2$ 有交, $UE2$ 也和 $VE1$ 和 $VE2$ 有交

设从 $u$ 出发, $UE1$ 和 $VE2$ 或 $VE1$ 第一次相交的交边的靠近 $u$ 的端点为 $b$.

如果 $UE1$ 第一次是和 $VE2$ 相交, 则直接将 $b$ 当成 $a$, 按仅 $UE1$ 和 $VE1$ 无交的情况讨论即可. 接下来只讨论第一次相交是和 $VE1$ 的情况.

设 $UE1$ 的 $u - b$ 段为 $BU$, $VE1$ 的 $b - e1$ 段为 $BE1$ 则.

因为从 $u$ 出发, $VE2$ 和 $UE1$ 第一次相交在 $b$ 之后, 所以 $VE2$ 和 $BU$ 无交.

因为从 $u$ 出发, $VE1$ 和 $UE1$ 第一次相交在 $b$, 所以 $BE1$ 和 $BU$ 无交.

因为 $VE1$ 和 $VE2$ 无交, 所以 $VE2$ 和 $BE1$ 无交.

因为 $UE1$, $VE1$ 都和 $e$ 无交, 所以 $BU$, $BE1$ 都和 $e$ 无交.

因为 $e$ 和 $VE2$ 无交, 则找到合法路径 $BU - BE1 - e - VE2$.

点双连通

因为不能找出三个点, 所以我们不讨论两个点的点双图这种特殊情况.

说明: 在点双图的讨论中, 两条路径不相交指这两条路径不存在除端点以外的公共点.

首先找到任意路径连接 $u - w$ 和 $v - w$, 这时如果两条路径无交, 则性质成立. 如果有交, 一定可以找一个 $x$ 点, 使得两条路径在 $w - x$ 处相交, 我们把这条路径记为 $WX1$, 且存在一条 $u - x - v$ 的简单路径, 我们把这条简单路径中, $u - x$ 段记为 $UX1$, $v - x$ 段记为 $VX1$.

然后讨论 $WX1$ 的情况, 因为我们可以找到至少两条 $w - x$ 的不相交简单路径, 所以最多有一条路径是一条边连接两个点组成的, 如果存在这种路径, 我们把它记为 $WX1$, 因为不存在除 $w$, $x$ 外的任何点, 所以它一定和 $VX1$ 和 $UX1$ 无交, 不影响我们在前面对 $WX1$ 记号的定义. 另一条路径记为 $WX2$, 则 $WX2$ 一定包含至少一个除了 $w$ 和 $x$ 的点.

$WX2$ 和 $UX1$ 有交

则设距离 $u$ 最近的交点为 $a$, 则 $UX1$ 的 $u - a$ 段记为 $UA$, 取 $WX2$ 的 $w - a$ 段记作 $WA$.

$WA$ 和 $VX1$ 有交

设距离 $v$ 最近的交点为 $b$, 记 $v - b$ 段为 $VB$, $w - b$ 段为 $WB$.
如果 $VB$ 和 $WB$ 有交, 则直接取交点为 $b$, 所以一定有 $VB$ 和 $WB$ 无交.
如果 $UX1$ 和 $WB$ 有交, 则直接取交点为 $a$, 转化为 $WA$ 和 $VX1$ 无交的情况.
因为 $WX2$ 和 $WX1$ 无交, 则 $WX1$ 和 $WB$ 无交.
因为 $UX1$ 和 $VX1$ 无交, 所以 $VB$ 和 $UX1$ 无交.
因为 $WX1$ 和 $VX1$ 无交, 所以 $VB$ 和 $WX1$ 无交.
又因为 $WX1$ 和 $UX1$ 无交, 所以找到一条合法路径 $VB - WB - WX1 - UX1$.

$WA$ 和 $VX1$ 无交

如果 $UA$ 和 $WA$ 有交, 直接取交点作为 $a$, 则存在 $UA$ 和 $WA$ 无交.
因为 $WX2$ 和 $WX1$ 无交, 则 $WX1$ 和 $WA$ 无交.
因为 $UX1$ 和 $WX1$ 无交, 所以 $UA$ 和 $WX1$ 无交.
因为 $UX1$ 和 $VX1$ 无交, 所以 $UA$ 和 $VX1$ 无交.
又因为 $WA$ 和 $VX1$ 无交, $WX1$ 和 $VX1$ 无交, 所以找到一条合法路径, $UA - WA - WX1 - VX1$.

$WX2$ 和 $UX1$ 无交

假设找一条 $v$ 到 $WX2$ 上除 $x$ 点之外的点 $a$ 的简单路径 $VA$, 使得这条路径和已有的 $VX1 - a$ 无交, 因为两点间有至少两条无交简单路径, 所以一定能找到一个 $VA$ 满足要求.

$VA$ 和 $UX1$ 有交

设最靠近 $u$ 的交点为 $d$, 记 $UX1$ 的 $u - d$ 段为 $UD$, $VA$ 的 $d - a$ 段为 $DA$.
如果 $DA$ 和 $WX1$ 有交, 取交点为 $c$, 则转化为 $VA$ 和 $UX1$ 无交, 却和 $WX1$ 有交的情况. 因此这里只讨论 $DA$ 和 $WX1$ 无交的情况.
如果 $DA$ 和 $WA$ 有交, 则直接取交点为 $a$, 所以一定存在 $DA$ 和 $WA$ 无交.
如果 $DA$ 和 $UD$ 有交, 则直接取交点为 $d$, 所以一定存在 $DA$ 和 $UD$ 无交.
如果 $WX2$ 和 $VX1$ 有交, 则转化为 $WX2$ 和 $UX1$ 有交的对称问题, 交换对象 $U$, $V$, 按 $WX2$ 和 $UX1$ 讨论即可. 故本情况只讨论 $WX2$ 和 $VX1$ 无交的情况.
因为 $WX2$ 和 $WX1$ 无交, 所以 $WX1$ 和 $WA$ 无交.
因为 $WX2$ 和 $VX1$ 无交, 所以 $WA$ 和 $VX1$ 无交.
因为 $WX2$ 和 $UX1$ 无交, 所以 $WA$ 和 $UD$ 无交.
因为 $WX1$ 和 $UX1$ 无交, 所以 $WX1$ 和 $UD$ 无交.
因为 $VX1$ 和 $UX1$ 无交, 所以 $VX1$ 和 $UD$ 无交.
因为 $VA$ 和 $VX1$ 无交, 所以 $DA$ 和 $VX1$ 无交.
又因为, $WX2$ 和 $UX1$ 无交, 所以找到合法路径 $UD - DA - WA - WX1 - VX1$.

$VA$ 和 $UX1$ 无交

$VA$ 和 $WX1$ 有交

设离 $x$ 最近的交点为 $c$, 记 $VA$ 的 $v - c$ 段为 $VC$, $WX1$ 的 $w - c$ 段记 $WC$.

• $VC$ 和 $WX2$ 有交

  直接取交点为 $a$ 点, 转化为 $VA$ 和 $WX1$ 无交的情况.

• $VC$ 和 $WX2$ 无交

  • $VC$ 和 $WC$ 有交

    记最靠近 $w$ 的交点为 $d$, 记 $WC$ 的 $w - d$ 段为 $WD$, $VC$ 的 $v - d$ 段为 $VD$, 则 $VD$ 和 $WD$ 不可能有交, 否则重新将新的交点记作 $d$.
    因为 $WX1$ 和 $WX2$ 无交, 所以 $WD$ 和 $WX2$ 无交.
    因为 $VC$ 和 $WX2$ 无交, 所以 $VD$ 和 $WX2$ 无交.
    因为 $VA$ 和 $UX1$ 无交, 所以 $VD$ 和 $UX1$ 无交.
    因为 $WX1$ 和 $UX1$ 无交, 所以 $WD$ 和 $UX1$ 无交.
    又因为 $WX2$ 和 $UX1$ 无交, 所以找到合法路径: $VD - WD - WX2 - UX1$.

  • $VC$ 和 $WC$ 无交

    因为 $VA$ 和 $UX1$ 无交, 所以 $VC$ 和 $UX1$ 无交.
    因为 $WX1$ 和 $UX1$ 无交, 所以 $WC$ 和 $UX1$ 无交.
    因为 $WX1$ 和 $WX2$ 无交, 所以 $WC$ 和 $WX2$ 无交.
    又因为 $VC$ 和 $WX2$ 无交, $WX2$ 和 $UX1$ 无交, $VC$ 和 $WC$ 无交, 所以找到合法路径: $VC - WC - WX2 - UX1$.

$VA$ 和 $WX1$ 无交

如果 $VA$ 和 $WA$ 有交, 则直接取交点为 $a$, 所以一定存在 $VA$ 和 $WA$ 无交.

因为 $WX1$ 和 $WX2$ 无交, 所以 $WA$ 和 $WX1$ 无交.
因为 $WX2$ 和 $UX1$ 无交, 所以 $WA$ 和 $UX1$ 无交.
又因为 $VA$ 和 $WX1$ 无交, $VA$ 和 $UX1$ 无交, $WX1$ 和 $UX1$ 无交, 所以找到合法路径: $VA - WA - WX1 - UX1$.