全网首个严格证明的双连通图的基本性质

双连通图的性质和证明

性质

首先讨论边双, 任选两点 \(u\), \(v\), 一条边 \(e\), 一定能找到至少一条简单路径 (不经过同一条边两次), 经过 \(e\) 连接 \(u\), \(v\).

然后讨论点双, 任选三点 \(u\), \(v\), \(w\), 一定能找到至少一条简单路径 (不经过同一个点两次), 经过 \(w\) 连接 \(u\), \(v\).

边双连通

说明: 在边双图的讨论中, 两条路径不相交指这两条路径不存在公共边.

对于边双的性质, 可以转化为找两条不相交的, 不经过 \(e\) 的路径, 使得对于 \(e\) 的两个端点 \(e1\), \(e2\), 连接 \(e1\) 和 \(v\), \(e2\) 和 \(u\), 或者是连接 \(e1\) 和 \(u\), \(e2\) 和 \(v\).

我们知道定义: 边双图任意两点间至少可以找到两条互不相交的路径.

因为路径在连通图一定能找到, 我们需要保证的是这些路径不交. 首先我们可以避免 \(e\), 因为如果有一条 \(u\) 到 \(e1\) 的路径经过了 \(e\), 我们可以选择将这条路径去掉 \(e\), 使其变成 \(u\) 到 \(e2\) 的路径, 如果这时 \(v\) 到 \(e1\) 的一条路径也经过 \(e\), 我们可以直接选择 \(v\) 到 \(e1\) 的另一条路径, 根据定义, 可以找到对应路径使得它和上一条路径不相交, 这样就不会有公共边 \(e\) 了.

一定存在简单环 \(u/v - e1 - e2\)

这是最坏的情况, 因为其它情况会存在两条不经过 \(e\) 的路径, 这样可以构造一条 \(u - e2\) 的路径, 它和一条不经过 \(e\) 的简单路径 \(u - e1 - e\) 构成一个简单环.

证明这个结论, 我们讨论随便找一条 \(u - e2\) 的路径, 如果包含 \(e\), 则找另一条, 这时得到的路径可能和 \(u - e1\) 的路径有交, 将两条路径的公共部分 \(u - x\) 记为 \(UX1\), 将剩下的部分记为 \(XE1\) 和 \(XE2\), 这三部分无交.

取 \(u\) 到 \(x\) 的另一条路径记为 \(UX2\), 假设路径上从 \(u\) 出发沿 \(UX2\) 经过的第一条 \(XE1/XE2\) 的公共边的靠近 \(u\) 的端点为 \(a\), 则记 \(UX2\) 的 \(u - a\) 段为 \(UA\), \(a - e1/e2\) 段为 \(AE1/AE2\), 这时找到简单环 \(UX1 - XE1/XE2 - e - AE2/AE1 - UA\).

对 \(v\) 也有同样的结论.

所以我们现在记两个简单环中, 经过 \(e\) 的, 连接 \(u/v - e1/e2\) 路径为 \(UE1/UE2/VE1/VE2\), 因为是简单环, 所以 \(UE1\) 和 \(UE2\) 无交, \(VE1\) 和 \(VE2\) 无交, 他们都和 \(e\) 无交.

存在 \(UE1\) 和 \(VE2\) 无交或 \(UE2\) 和 \(VE1\) 无交

则直接找到可行路径 \(UE1 - e - VE2\) 或 \(UE2 - e - VE1\).

仅满足 \(UE1\) 和 \(VE1\) 无交 (省略讨论 \(UE2\) 和 \(VE2\) 无交仍不失一般性)

设 \(UE1\) 和 \(VE2\) 的靠近 \(u\) 的交边的靠近 \(u\) 的交点是 \(a\), 记 \(UE1\) 的 \(a - u\) 段为 \(AU\), \(VE2\) 的 \(a - e2\) 段位 \(AE2\).

因为 \(UE1\) 和 \(VE1\) 无交, 所以 \(AU\) 和 \(VE1\) 无交.

因为 \(VE2\) 和 \(VE1\) 无交, 所以 \(AE2\) 和 \(VE1\) 无交.

因为 \(AU\) 和 \(AE2\) 由 \(a\) 分开, 且 \(UE1\) 的 \(AU\) 段和 \(VE2\) 无交, 所以 \(AU\) 和 \(AE2\) 无交.

因为 \(VE2\) 和 \(UE1\) 都不包含 \(e\), 所以 \(AU\) 和 \(AE2\) 都和 \(e\) 无交.

又因为 \(e\) 和 \(VE1\) 无交, 找到合法路径 \(AU - AE2 - e - VE1\).

\(UE1\) 和 \(VE1\), \(VE2\) 有交, \(UE2\) 也和 \(VE1\) 和 \(VE2\) 有交

设从 \(u\) 出发, \(UE1\) 和 \(VE2\) 或 \(VE1\) 第一次相交的交边的靠近 \(u\) 的端点为 \(b\).

如果 \(UE1\) 第一次是和 \(VE2\) 相交, 则直接将 \(b\) 当成 \(a\), 按仅 \(UE1\) 和 \(VE1\) 无交的情况讨论即可. 接下来只讨论第一次相交是和 \(VE1\) 的情况.

设 \(UE1\) 的 \(u - b\) 段为 \(BU\), \(VE1\) 的 \(b - e1\) 段为 \(BE1\) 则.

因为从 \(u\) 出发, \(VE2\) 和 \(UE1\) 第一次相交在 \(b\) 之后, 所以 \(VE2\) 和 \(BU\) 无交.

因为从 \(u\) 出发, \(VE1\) 和 \(UE1\) 第一次相交在 \(b\), 所以 \(BE1\) 和 \(BU\) 无交.

因为 \(VE1\) 和 \(VE2\) 无交, 所以 \(VE2\) 和 \(BE1\) 无交.

因为 \(UE1\), \(VE1\) 都和 \(e\) 无交, 所以 \(BU\), \(BE1\) 都和 \(e\) 无交.

因为 \(e\) 和 \(VE2\) 无交, 则找到合法路径 \(BU - BE1 - e - VE2\).

点双连通

因为不能找出三个点, 所以我们不讨论两个点的点双图这种特殊情况.

说明: 在点双图的讨论中, 两条路径不相交指这两条路径不存在除端点以外的公共点.

首先找到任意路径连接 \(u - w\) 和 \(v - w\), 这时如果两条路径无交, 则性质成立. 如果有交, 一定可以找一个 \(x\) 点, 使得两条路径在 \(w - x\) 处相交, 我们把这条路径记为 \(WX1\), 且存在一条 \(u - x - v\) 的简单路径, 我们把这条简单路径中, \(u - x\) 段记为 \(UX1\), \(v - x\) 段记为 \(VX1\).

然后讨论 \(WX1\) 的情况, 因为我们可以找到至少两条 \(w - x\) 的不相交简单路径, 所以最多有一条路径是一条边连接两个点组成的, 如果存在这种路径, 我们把它记为 \(WX1\), 因为不存在除 \(w\), \(x\) 外的任何点, 所以它一定和 \(VX1\) 和 \(UX1\) 无交, 不影响我们在前面对 \(WX1\) 记号的定义. 另一条路径记为 \(WX2\), 则 \(WX2\) 一定包含至少一个除了 \(w\) 和 \(x\) 的点.

\(WX2\) 和 \(UX1\) 有交

则设距离 \(u\) 最近的交点为 \(a\), 则 \(UX1\) 的 \(u - a\) 段记为 \(UA\), 取 \(WX2\) 的 \(w - a\) 段记作 \(WA\).

\(WA\) 和 \(VX1\) 有交

设距离 \(v\) 最近的交点为 \(b\), 记 \(v - b\) 段为 \(VB\), \(w - b\) 段为 \(WB\).
如果 \(VB\) 和 \(WB\) 有交, 则直接取交点为 \(b\), 所以一定有 \(VB\) 和 \(WB\) 无交.
如果 \(UX1\) 和 \(WB\) 有交, 则直接取交点为 \(a\), 转化为 \(WA\) 和 \(VX1\) 无交的情况.
因为 \(WX2\) 和 \(WX1\) 无交, 则 \(WX1\) 和 \(WB\) 无交.
因为 \(UX1\) 和 \(VX1\) 无交, 所以 \(VB\) 和 \(UX1\) 无交.
因为 \(WX1\) 和 \(VX1\) 无交, 所以 \(VB\) 和 \(WX1\) 无交.
又因为 \(WX1\) 和 \(UX1\) 无交, 所以找到一条合法路径 \(VB - WB - WX1 - UX1\).

\(WA\) 和 \(VX1\) 无交

如果 \(UA\) 和 \(WA\) 有交, 直接取交点作为 \(a\), 则存在 \(UA\) 和 \(WA\) 无交.
因为 \(WX2\) 和 \(WX1\) 无交, 则 \(WX1\) 和 \(WA\) 无交.
因为 \(UX1\) 和 \(WX1\) 无交, 所以 \(UA\) 和 \(WX1\) 无交.
因为 \(UX1\) 和 \(VX1\) 无交, 所以 \(UA\) 和 \(VX1\) 无交.
又因为 \(WA\) 和 \(VX1\) 无交, \(WX1\) 和 \(VX1\) 无交, 所以找到一条合法路径, \(UA - WA - WX1 - VX1\).

\(WX2\) 和 \(UX1\) 无交

假设找一条 \(v\) 到 \(WX2\) 上除 \(x\) 点之外的点 \(a\) 的简单路径 \(VA\), 使得这条路径和已有的 \(VX1 - a\) 无交, 因为两点间有至少两条无交简单路径, 所以一定能找到一个 \(VA\) 满足要求.

\(VA\) 和 \(UX1\) 有交

设最靠近 \(u\) 的交点为 \(d\), 记 \(UX1\) 的 \(u - d\) 段为 \(UD\), \(VA\) 的 \(d - a\) 段为 \(DA\).
如果 \(DA\) 和 \(WX1\) 有交, 取交点为 \(c\), 则转化为 \(VA\) 和 \(UX1\) 无交, 却和 \(WX1\) 有交的情况. 因此这里只讨论 \(DA\) 和 \(WX1\) 无交的情况.
如果 \(DA\) 和 \(WA\) 有交, 则直接取交点为 \(a\), 所以一定存在 \(DA\) 和 \(WA\) 无交.
如果 \(DA\) 和 \(UD\) 有交, 则直接取交点为 \(d\), 所以一定存在 \(DA\) 和 \(UD\) 无交.
如果 \(WX2\) 和 \(VX1\) 有交, 则转化为 \(WX2\) 和 \(UX1\) 有交的对称问题, 交换对象 \(U\), \(V\), 按 \(WX2\) 和 \(UX1\) 讨论即可. 故本情况只讨论 \(WX2\) 和 \(VX1\) 无交的情况.
因为 \(WX2\) 和 \(WX1\) 无交, 所以 \(WX1\) 和 \(WA\) 无交.
因为 \(WX2\) 和 \(VX1\) 无交, 所以 \(WA\) 和 \(VX1\) 无交.
因为 \(WX2\) 和 \(UX1\) 无交, 所以 \(WA\) 和 \(UD\) 无交.
因为 \(WX1\) 和 \(UX1\) 无交, 所以 \(WX1\) 和 \(UD\) 无交.
因为 \(VX1\) 和 \(UX1\) 无交, 所以 \(VX1\) 和 \(UD\) 无交.
因为 \(VA\) 和 \(VX1\) 无交, 所以 \(DA\) 和 \(VX1\) 无交.
又因为, \(WX2\) 和 \(UX1\) 无交, 所以找到合法路径 \(UD - DA - WA - WX1 - VX1\).

\(VA\) 和 \(UX1\) 无交

\(VA\) 和 \(WX1\) 有交

设离 \(x\) 最近的交点为 \(c\), 记 \(VA\) 的 \(v - c\) 段为 \(VC\), \(WX1\) 的 \(w - c\) 段记 \(WC\).

• \(VC\) 和 \(WX2\) 有交

  直接取交点为 \(a\) 点, 转化为 \(VA\) 和 \(WX1\) 无交的情况.

• \(VC\) 和 \(WX2\) 无交

  • \(VC\) 和 \(WC\) 有交

    记最靠近 \(w\) 的交点为 \(d\), 记 \(WC\) 的 \(w - d\) 段为 \(WD\), \(VC\) 的 \(v - d\) 段为 \(VD\), 则 \(VD\) 和 \(WD\) 不可能有交, 否则重新将新的交点记作 \(d\).
    因为 \(WX1\) 和 \(WX2\) 无交, 所以 \(WD\) 和 \(WX2\) 无交.
    因为 \(VC\) 和 \(WX2\) 无交, 所以 \(VD\) 和 \(WX2\) 无交.
    因为 \(VA\) 和 \(UX1\) 无交, 所以 \(VD\) 和 \(UX1\) 无交.
    因为 \(WX1\) 和 \(UX1\) 无交, 所以 \(WD\) 和 \(UX1\) 无交.
    又因为 \(WX2\) 和 \(UX1\) 无交, 所以找到合法路径: \(VD - WD - WX2 - UX1\).

  • \(VC\) 和 \(WC\) 无交

    因为 \(VA\) 和 \(UX1\) 无交, 所以 \(VC\) 和 \(UX1\) 无交.
    因为 \(WX1\) 和 \(UX1\) 无交, 所以 \(WC\) 和 \(UX1\) 无交.
    因为 \(WX1\) 和 \(WX2\) 无交, 所以 \(WC\) 和 \(WX2\) 无交.
    又因为 \(VC\) 和 \(WX2\) 无交, \(WX2\) 和 \(UX1\) 无交, \(VC\) 和 \(WC\) 无交, 所以找到合法路径: \(VC - WC - WX2 - UX1\).

\(VA\) 和 \(WX1\) 无交

如果 \(VA\) 和 \(WA\) 有交, 则直接取交点为 \(a\), 所以一定存在 \(VA\) 和 \(WA\) 无交.

因为 \(WX1\) 和 \(WX2\) 无交, 所以 \(WA\) 和 \(WX1\) 无交.
因为 \(WX2\) 和 \(UX1\) 无交, 所以 \(WA\) 和 \(UX1\) 无交.
又因为 \(VA\) 和 \(WX1\) 无交, \(VA\) 和 \(UX1\) 无交, \(WX1\) 和 \(UX1\) 无交, 所以找到合法路径: \(VA - WA - WX1 - UX1\).