Manacher Algorithm
Manacher Algorithm
Gleen K. Manacher (1975), "A new linear-time 'on-line' algorithm for finding the smallest initial palindrome of a string"
一种关于一个字符串 \(s\) 的回文子串的算法, 可以线性求两个数组 \({f_1}_i\) 和 \({f_2}_i\), 分别表示以第 \(i\) 位为中心的最长奇回文子串和最长偶回文子串的半径 (长度除以 \(2\), 向上取整). 对于以 \(i\) 为中心的回文子串 \([l, r]\), 规定 \(i = \lceil \frac{l + r}{2} \rceil\).
根据回文串的性质可以知道 \({f_1}_i\) 和 \({f_2}_i\) 也恰好是以 \(i\) 为中心的回文子串的个数. 这条性质非常重要.
朴素
在求字符 \(i\) 的 \(f_1\) 时, 每次从 \({f_1}_i = 1\) 开始枚举, 只要 \(s_{i + {f_1}_i} = s_{i - {f_1}_i}\), 就让 \({f_1}_i\) 增加 \(1\).
对于 \(f_2\) 同样如此, 只是边界换成 \(f_2 = 0\), 自增条件变成 \(s_{i + {f_2}_i} = s_{i - {f_2}_i - 1}\).
容易看出, 这样最坏的复杂度可达 \(O(n^2)\), 在 \(s\) 形如 aaaa...aaaa 时可以出现.
优化
还是先考虑 \(f_1\) 的求法.
由于朴素算法外层循环是从小到大按顺序的, 所以可以认为求 \({f_1}_i\) 时, \({f_1}_j~(j \in [1, i))\) 已经求出来了.
设当前 \(j + {f_1}_j - 1\) 最大的 (对应回文子串右边界最大) 的 \(j\) 为 \(Frontier\), 则对 \(i\) 有两种情况:
\(i > Frontier + {f_1}_{Frontier} - 1\)
这时的 \(i\) 不在任何已知的回文子串中, 则直接朴素求 \({f_1}_i\).
\(i \leq Frontier + {f_1}_{Frontier} - 1\)
这时的 \(i\) 在以 \(Frontier\) 为中心的回文串内, 则必有 \(s_{i} = s_{2Frontier - i}\). 内涵是因为 \(i\) 在 \(Frontier\) 的右边, 又在以 \(Frontier\) 为中心的奇回文串内, 则在 \(Frontier\) 左边的对应位置也应该有一个同样的字符. 设这个字符位置为 \(Reverse = 2Frotier - i\).
因为 \(Reverse\) 在 \(Frontier\) 左边, 所以 \({f_1}_{Reverse}\) 也一定求出来了, 所以 \([Reverse - {f_1}_{Reverse} + 1, Reverse + {f_1}_{Reverse} - 1]\) 是回文串, 再加上 \([Frontier - {f_1}_{Frontier} + 1, Frontier + {f_1}_{Frontier} - 1]\) 也是回文串, 所以 \([Reverse - {f_1}_{Reverse} + 1, Reverse + {f_1}_{Reverse} - 1]\) 和 \([Frontier - {f_1}_{Frontier} + 1, 2Reverse - Frontier + {f_1}_{Frontier} - 1]\) 皆为回文串. 二者的中心都是 \(Reverse\), 设二者的交集为 \([PalindromeL, PalindromeR]\), 则 \([2Frontier - PalindromeR, 2Frontier - PalindromeL]\) 也是回文串.
这时 \([2Frontier - PalindromeR, 2Frontier - PalindromeL]\) 的中心是 \(2Frontier - \frac{PalindromeL + PalindromeR}{2} = 2Frontier - Reverse = i\).
这时, 可以断定 \({f_1}_i \geq Reverse - PalindromeL + 1\).
接下来, 考虑 \({f_1}_i\) 是否能取更大值.
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\(Reverse - {f_1}_{Reverse} + 1 < Frontier - {f_1}_{Frontier} + 1\)
这时如果 \({f_1}_i > Reverse - PalindromeL + 1\), 则 \(s_{Frontier + {f_1}_{Frontier}} = s_{2i - Frontier - {f_1}_{Frontier}} = s_{3Frontier - 2i + {f_1}_{Frontier}}\). 字符 \(3Frontier - 2i + {f_1}_{Frontier}\) 关于 \(Reverse\) 的对称字符就是 \(Frontier - {f_1}_{Frontier}\), 因为 \(Reverse - {f_1}_{Reverse} + 1 < Frontier - {f_1}_{Frontier} + 1\), 所以字符 \(Frontier - {f_1}_{Frontier}\) 也和前面提到的三个字符相同. 这样, \(s_{Frontier - {f_1}_{Frontier}} = s_{Frontier + {f_1}_{Frontier}}\). 但是 \({f_1}_{Frontier}\) 则说明 \(s_{Frontier - {f_1}_{Frontier}} \neq s_{Frontier + {f_1}_{Frontier}}\), 相矛盾, 所以 \({f_1}_{Frontier}\) 不能更大.
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\(Reverse - {f_1}_{Reverse} + 1 > Frontier - {f_1}_{Frontier} + 1\)
根据已经求出的 \(f_{Reverse}\) 得, \(s_{Reverse - {f_1}_{Reverse}} \neq s_{Reverse + {f_1}_{Reverse}}\). 又因为 \(Reverse - {f_1}_{Reverse} \geq Frontier - {f_1}_{Frontier} + 1\), 所以对称的 \(s_{2Frontier - Reverse + {f_1}_{Reverse}} \neq s_{2Frontier - Reverse - {f_1}_{Reverse}}\), 所以这种情况 \({f_1}_i\) 也不会更大.
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\(Reverse - {f_1}_{Reverse} + 1 = Frontier - {f_1}_{Frontier} + 1\)
这时比较特殊, 因为 \(s_{Reverse - {f_1}_{Reverse}} \neq s_{Reverse + {f_1}_{Reverse}}\), \(s_{Frontier - {f_1}_{Frontier}} \neq s_{Frontier + {f_1}_{Frontier}}\). 所以就算是 \(s_{Frontier + {f_1}_{Frontier}} = s_{2i - Frontier - {f_1}_{Frontier}} = s_{Reverse + {f_1}_Reverse}\) 也无所谓, 这不会和任何已经求出的 \(f_1\) 值冲突. 所以在 \({f_1}_i = Reverse - PalindromeL + 1\) 的基础上继续朴素即可.
对于求 \(f_2\) 的情况, 思路相同, 实现有细节上的差别, 不再赘述.
时间复杂度
以 \(f_1\) 为例.
在大部分情况下, 每个 \(f_1\) 的求出是 \(O(1)\) 的, 只要考虑朴素时的复杂度即可.
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当 \(Frontier + {f_1}_{Frontier} - 1 < i\) 时
一定有 \(Frontier + {f_1}_{Frontier} - 1 < i + {f_1}_i - 1\), \(Frontier\) 被更新成 \(i\), \(Frontier + {f_1}_{Frontier}\) 比原先多了至少 \({f_1}_i\), 即本次操作步数.
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当 \(Frontier + {f_1}_ {Frontier} - 1 \leq i\), 但 \(Frontier + {f_1}_{Frontier} - 1 = Reverse + {f_1}_{Reverse} - 1\) 时.
朴素从原来的 \({f_1}_i\) 开始, 这时 \(i + {f_1}_i - 1= Frontier + {f_1}_{Frontier} - 1\), 接下来每执行一步, \(i + {f_1}_{Frontier}\) 都增加 \(1\).
因为每次朴素执行 \(k\) 步后, \(Frontier + {f_1}_{Frontier}\) 都右移至少 \(k\) 位, 而 \(Frontier + {f_1}_{Frontier}\) 最大是 \(n\), 所以朴素的总复杂度是 \(O(n)\).
综上, Manacher 可以在 \(O(n)\), 求出长度为 \(n\) 的字符串的所有回文子串.
模板
一个长度为 \(n\) 的字符串, 求最长回文子串长度. (\(n \leq 1.1*10^7\))
用 \(Manacher\) 求出 \(f_1\), \(f_2\), 第 \(i\) 个字符为中心的最长回文子串即为 \(\max(2{f_1}_i - 1, 2{f_2}_i)\), 求 \(f_1\), \(f_2\) 时顺便统计即可.
代码, 缺省源省略
unsigned n, Frontier(0), Ans(0), Tmp(0), f1[11000005], f2[11000005];
char a[11000005];
int main() {
fread(a+1,1,11000000,stdin); // fread 优化
n = strlen(a + 1); // 字符串长度
a[0] = 'A';
a[n + 1] = 'B'; // 哨兵
for (register unsigned i(1); i <= n; ++i) { // 先求 f1
if(i + 1 > Frontier + f1[Frontier]) { // 朴素
while (!(a[i - f1[i]] ^ a[i + f1[i]])) {
++f1[i];
}
Frontier = i; // 更新 Frontier
}
else {
register unsigned Reverse((Frontier << 1) - i), A(Reverse - f1[Reverse]), B(Frontier - f1[Frontier]);
f1[i] = Reverse - ((A < B) ? B : A); // 确定 f1[i] 下界
if (!(Reverse - f1[Reverse] ^ Frontier - f1[Frontier])) { // 特殊情况
while (!(a[i - f1[i]] ^ a[i + f1[i]])) {
++f1[i];
}
Frontier = i; // 更新 Frontier
}
}
Ans = ((Ans < f1[i]) ? f1[i] : Ans);
}
Ans = (Ans << 1) - 1; // 根据 max(f1) 求长度
Frontier = 0;
for (register unsigned i(1); i <= n; ++i) {
if(i + 1 > Frontier + f2[Frontier]) { // 朴素
while (!(a[i - f2[i] - 1] ^ a[i + f2[i]])) {
++f2[i];
}
Frontier = i; // 更新 Frontier
}
else {
register unsigned Reverse ((Frontier << 1) - i - 1), A(Reverse - f2[Reverse]), B(Frontier - f2[Frontier]);
f2[i] = Reverse - ((A < B) ? B : A); // 确定 f2[i] 下界
if (A == B) { // 特殊情况, 朴素
while (a[i - f2[i] - 1] == a[i + f2[i]]) {
++f2[i];
}
Frontier = i; // 更新 Frontier
}
}
Tmp = ((Tmp < f2[i]) ? f2[i] : Tmp);
}
Tmp <<= 1; // 根据 max(f2) 求长度
printf("%u\n", (Ans < Tmp) ? Tmp : Ans); // 奇偶取其大
return Wild_Donkey;
}
