斜率优化(Convex Hull Optimisation)

斜率优化(Convex Hull Optimisation)

英文直译为 凸包优化, 指利用状态转移方程的特殊性质, 将决策转化为坐标系中的点, 维护下凸壳进行优化的技巧.

$February~2021$ 清北学堂 DP-图论营, 讲斜率优化的时候我精准睡觉, 从开始睡到结尾, 成为开学后校内测试的眼泪.

问题转化

设有一类 DP 问题, 其转移方程形如

$$f_i = min/max(a_ib_j + f_j + c_i)$$

其中, $a_i$, $b_i$, $f_i$ 单调

则可以使用斜率优化

将方程转化为函数, 变形成以 $b_j$ 为自变量, $f_j$ 为因变量的函数.

$$f_j = -a_ib_j + f_i - c_i$$

这时, 函数图像是一条以 $-a_i$ 为斜率, $f_i - c_i$ 为截距的直线, 经过点 $(b_j, f_j)$, 这个点被称作决策点

由于 $-a_i$, $-c_i$ 只和 $i$ 有关, 所以对于某一个 $i$, 最佳决策就是使图像截距最小/大的 $j$, 问题转化成找一个点 $(b_j, f_j)$, 使经过它的斜率为 $-a_i$ 的直线截距最小/大

上凸 $\And$ 下凸

由于单调性的增减不会影响原理, 所以不失一般性, 我们假设 $-a_i$, $b_i$, $f_i$ 单增, 且最优决策点使得直线截距最小

这样一来, 就有 $P_{j + 1}$ 一定在 $P_j$ 右上出现. 斜率 $k_{j, j + 1}>0$

分析问题的几何性质可以发现, 对于同一个 $i$, 由于斜率一定, 所有决策点对应的直线都平行, 所有一个决策点比另一个优, 当且仅当这个点对应的直线在另一条之下; 一条线在另一条之下, 当且仅当这条线在另一条线上的一个点之下

容易发现, 如果 $k_{j - 1, j} > k_{j, j + 1}$, 则 $P_j$ 一定不是最优决策点, 因为如果 $P_j$ 优于 $P_{j - 1}$, 说明 $P_{j - 1}$ 在直线 $l_j$ 之上, $k_{j - 1, j} < -a_i$. 又因为 $k_{j - 1, j} > k_{j, j + 1}$, 所以 $-a_i > k_{j, j + 1}$, $P_{j + 1}$ 优于 $P_j$; 同理, 当 $P_j$ 优于 $P_{j + 1}$ 时, 一定有 $P_{j - 1}$ 优于 $P_j$.

我们把上面 $P_j$ 这种情况称作 上凸, $P_j$ 不可能是最优决策, 所以最优决策只能出现在 下凸 的情况, 即 $k_{j - 1, j} \leq k_{j, j + 1}$

下凸壳

维护一个单调队列, 使得在队列中的点满足 $k_{j - 1, j} < k_{j, j + 1}$ (从这时开始, 下标 $j$ 特指队列中的下标), 这时候, 相邻点连成的斜率随k不断增大的折线就称作下凸壳. 下凸壳的性质是没有一个点位于其下, 在队列里的点位于下凸壳上, 不在队列里的点位于下凸壳内

容易看出, 对同一个 $i$, 下凸壳的斜率为 $-a_i$ 的切线的切点就是最佳决策点. 没有任何决策点在切线之下, 也就没有更优的决策了.

求解

下凸壳上点 $P_j$ 是切点, 必须满足 $k_{j - 1, j} \leq -a_i \leq k_{j, j + 1}$

由于斜率 $-a_i$ 也具有单调性, 每次决策时会将其最佳决策点前面的点删掉, 所以凸包总共会被遍历一次, 每个点也只会入队一次, 因此时间复杂度是 $O(n)$

需要注意的是, 由于新的决策点 $P_i$ 需要入队, 所以必须在入队时保证下凸原则, 入队前删掉队尾的点 $P_r$, 直到 $k_{r - 1, r} \leq k_{r, i}$, 将 $P_i$ 入队

例题Luogu3195

题面大意

$n$ 个物品, 大小为 $c_i$, 可以选取一段连续的物品 $(l, r)$ 装入容器, 容器大小为 $sum_r - sum_{l - 1} + r - l$, 大小为 $x$ 的容器花费 $(x - L)^2$, $L$ 是常数. 求装下所有物品的最小总费用.

$1 \leq n \leq 5 * 10^4, 1 \leq L, C_i \leq 10^7$

状态设计

计算前缀和 $sum_i$ 表示前 $i$ 件物品总大小

$f_i$ 表示前 $i$ 个物品的最小花费, 写出方程

$$f_i = min(f_j + (sum_i - sum_{j} + i - j - L - 1)^2)$$

去掉取最小值, 整理

$$f_i = f_j + (sum_i + i - L - 1)^2 - 2(sum_i + i - L - 1)(sum_{j} + j) + (sum_{j} + j)^2$$

设 $t_i = sum_i + i - L - 1$, $k_j = sum_{j} + j$, 则

$$f_i = f_j + {t_i}^2 - 2t_ik_j + {k_j}^2$$

整理得

$$f_j + {k_j}^2 = 2t_ik_j + f_i - {t_i}^2$$

得到以 $k_j$ 为自变量, $f_j + {k_j}^2$ 为因变量的函数. 因为 $a_i > 0$, 所以 $2t_i$, $k_j$, $f_j + {k_j}^2$ 单调递增, 可以使用斜率优化

表示出决策点的坐标

$$x = k_j\\ y = f_j + {k_j}^2$$

斜率比较

$$k_{j - 1, j} < k_{j, j + 1}\\ \Downarrow\\ (y_j - y_{j - 1})(x_{j + 1} - x_j) < (x_j - x_{j - 1})(y_{j + 1} - y_j)\\ $$

$$k_{j - 1, j} < k\\ \Downarrow\\ y_j - y_{j - 1} < k(x_j - x_{j - 1})$$

代码

int main() {
  n = RD();
  L = RD(); 
  sum[0] = 0;
  for (register unsigned i(1); i <= n; ++i) {
    a[i] = RD();
    sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    b[i] = sum[i] + i - L - 1;  //处理 t[i] 
    c[i] = sum[i] + i;          //处理 k[i] 
  }
  f[0] = 0;
  Hull[1].x = 0;
  Hull[1].y = 0;
  Hull[1].ad = 0;   //管他有没有必要的初始化 
  for (register unsigned i(1); i <= n; ++i) {
    while (l < r && (Hull[l + 1].y - Hull[l].y < ((b[i] * (Hull[l + 1].x - Hull[l].x)) << 1))) {
      ++l;  //将左端过气决策点 (斜率过小) 踢出凸壳 
    }
    f[i] = f[Hull[l].ad] + (b[i] - c[Hull[l].ad]) * (b[i] - c[Hull[l].ad]);
    now.x = c[i];
    now.y = c[i] * c[i] + f[i];     //转移 
    while (l < r && ((Hull[r].y - Hull[r - 1].y) * (now.x - Hull[r].x) > (Hull[r].x - Hull[r - 1].x) * (now.y - Hull[r].y))){
      --r;   //入队前维护下凸性 (单调性)
    }
    Hull[++r].x = now.x;
    Hull[r].y = now.y;
    Hull[r].ad = i;   //入队 
  }
  printf("%lld\n", f[n]);
  return Wild_Donkey;
}