DP笔记 2021.2.4 下午

Preview

今下午的主要内容是

• 序列 DP

• 区间 DP

可以说是动态规划里面最简单的一种类型, 通过学习和思考此类问题, 大家能够加深对动态规划本身的理解.

序列 DP

序列上的 DP 状态设计最基本的形式

• $F_i$ 表示以 $i$ 结尾的最优值或方案数

• $F_{i, k}$ 表示以 $i$ 结尾附加信息为 $k$ 的最优值或方案数, 转移的话往往是枚举上一个断点.

$F_i = max(F_j + w_{j+1 , i})$ ($j$ 是一个满足转移条件的断点)

这是最简单的一类序列上的 DP

Luogu P1772 [ZJOI2006]物流运输

有 $m$ 个码头和 $e$ 条航线, 每条航线有成本. 有连续 $n$ 天需要从 $1$ 号码头到 $m$ 号码头运输货物. 每个码头会在某些天数区间内不许经过. 每更换一次运输路线, 要付出 $k$ 的成本求这 $n$ 天的最小总成本.

$m \leq 20$, $n \leq 100$

其实就是分成很多段, 每一段选同一个运输路线, 然后得到一个最优的划分方案, 使得成本最小.

$f_i$ 表示前 $i$ 天的运输最小成本。

$$f_i=min(f_j + k + w_{j + 1, i} * (i - j))\ (j<i)$$

其中 $w(x,y)$ 表示最短的在第 $x$ 天到第 $y$ 天都能用的路线长度, 把能在则几天一直走的点加进图中, 跑最短路径即可.

$O(N^2mlogm)$

bzoj1296粉刷匠

有 $n$ 条木板要被粉刷, 每条木板分为 $m$ 个格子, 每个格子需要被刷成蓝色或红色.

每次粉刷可以在一条木板上给连续的一段格子刷上相同的颜色. 每个格子最多被刷一次.

问若只能刷 $k$ 次, 最多正确粉刷多少格子.

$n,m<=50$, $k<=2500$

$n == 1$

如果只有一条木板, 那么设 $g_{i, j}$表示前 $i$ 个格子刷 $j$ 次的最多正确格子

$$g_{i, j}=max(g_{k, j-1} + w_{k+1, i})\ (k<i)$$

$w_{x, y}$ 为第 $x$ 到第 $y$ 个格子的最多同色格子数, 哪个颜色出现的多刷哪个, 直接记一个前缀和即可.

有多条木板, 设 $f_{i, j}$ 表示前 $i$ 个木板刷 $j$ 次的最大答案.

$$f_{i, j} = max(f_{i-1, k} + g_{m, j-k})\ (k \leq j)$$

其实像这种般的 DP, 就是把影响答案的信息用多维状态来表示, 什么必要什么就放在状态里.

CF 314E

给定一个长度为 $n$ 的仅包含左括号和问号的字符串, 将问号变成左括号或右括号使得该括号序列合法, 求方案总数. 例如 $(())$ 与 $()()$ 都是合法的括号序列.

$n<=3000$

括号序列问题, 往往就是把左括号看成 $+1$, 右括号看成 $-1$,我们只需要保证任意一个前缀大于等于 $0$, 且总和为 $0$, 就代表是个合法括号序列了.

令 $dp_{i, j}$ 表示当前到第 $i$ 个字符, 现在还有 $j$ 个左括号.

那么分 $3$ 种情况考虑:

• 若第 $i+1$ 个字符是左括号, 则能转移到 $dp_{i+1, j+1}$.

• 若第 $i+1$ 个字符是右括号, 则能转移到 $dp_{i+1, j-1}$.

• 若第 $i+1$ 个字符是问号, 则能转移到 $dp_{i+1, j-1}$ 与 $dp_{i+1, j+1}$.

最终 $dp_{n, 0}$ 就是方案总数啦.

$O(n^2)$

bzoj4922

给出一些括号序列，要求选择一些括号序列拼接成一个合法的括号序列, 使得总长最大.

$1 \leq n \leq 300$, 表示括号序列的个数

括号序列的长度 $len$ 不超过 $300$.

$$(((())))\ \rightleftharpoons\ empty\\ )(((())))(\ \rightleftharpoons\ )(\\ )())))(\ \rightleftharpoons\ ))))($$

首先对于每个括号序列, 把左边的左括号和右边的右括号对消, 最后能得到一坨这样的东西:

$))…))((…(($

就是 $x$ 个右括号然后 $y$ 个左括号, 记作 $(x, y)$

然后考虑假如我们的子集选好了, 我们要按照什么顺序拼接才能拼成一个合法的括号序列呢?

这就转化成了另一个问题:

BZOJ3709

在一款电脑游戏中, 你需要打败 $n$ 只怪物 (从 $1$ 到 $n$ 编号). 为了打败第 $i$ 只怪物, 你需要消耗 $d_i$ 点生命值, 但怪物死后会掉落血药, 使你恢复 $a_i$ 点生命值. 任何时候你的生命值都不能降到 $0$ (或 $0$ 以下)

请问是否存在一种打怪顺序, 使得你可以打完这 $n$ 只怪物而不死掉.

$N \leq 10^5$

贪心, NOIp 的贪心很多都是按照某种方式排序, 然后依次选或处理.

我们来看看应该怎么排序.

• 如果 $a_i - d_i > 0$, 说明打掉这个怪兽有血可恢复, 那么血量会变多, 明显我们按照伤害 $d_i$ 从小到大排序即可, 然后一个个杀下来.

• 如果 $a_i - d_i < 0$, 说明会亏血. 一个精妙的想法就是, 最后剩余的血量值, 假设是 $x$, 那么 $x$ 是固定的. 然后可以看作初始血量为 $x$, 怪兽的属性 $a$, $d$ 交换，这样就和上一种情况一样了.

回到bzoj4922

我们还是把左括号看成 $+1$, 右括号看成 $-1$, 同样是保证任意一个前缀大于等于 $0$, 且总和为 $0$.

那就是每一个给定的序列都是 先 $-L_i$再 $+R_i$, $L_i$ 是对消后左端右括号的数量, $L_i$ 是对消后右端左括号的数量. 然后依次拼起来之后任何一个前缀都大于等于 $0$, 这个其实和刚刚所讲的题目完全一样.

我们按照上一题的做法排序即可, 排序后我们从左往右做 DP.

设 $f_{i, j}$ 为前 $i$ 个括号序列 $-1$ 与 $+1$ 的和为 $j$ 个时选出括号序列最长的长度和.

也就是前 $i$ 个括号序列左括号比右括号多 $j$ 个时的最长的长度和.

转移时考虑下一个括号序列选不选即可.

$Len_i$ 为排完序后第i个括号序列的长度.

$$f_{i+1, j-L_{i+1}+R_{i+1}} \leftarrow f_{i, j} + len_{i+1}\ (j \geq L_{i+1})\\ f_{i+1, j} \leftarrow f_{i, j}$$

最后答案就是 $f_{n, 0}$. 复杂度 $O(nlen^2)$

卡特兰数

1. $1, 2...n$ 依次进栈, 求有多少种可能的出栈序列.

2. 由 $n$ 对括号形成的合法的括号序列由多少个?

3. $n$ 个节点共能构成多少种二叉树, 左右子树是认为不同.

4. 凸多边形的三角划分的方案数: 把一个凸多边形用 $n - 3$ 条直线连接 $n - 3$ 对顶点, 共形成n-2个三角形，求方案数.

5. 一个 $n * n$ 的格子, 从 $(0,0)$ 走到 $(n,n)$, 求不跨过 $(0,0) \Rightarrow (n,n)$ 这条直线的路径方案数.

$N \leq 10^5$

我们设 $f_n$ 表示 $n$ 个数依次进栈所能形成的出栈序列数.

似乎和之前不一样, 好像不是划分成一段一段那样的简单形式.

我们可以考虑另一种形式的状态转移方式, 以转移到子问题.

注意一段一段划分我们可以枚举最后一段的起点, 但是这里不是一段一段的, 我们要考虑另外的转移方式.

实际上我们发现我们可以枚举 $1$ 这个数是什么时候出栈的. 那么我们可以得到:

$$f_n = \sum_{i = 0}^{n - 1} (f_i * f_{n - 1 - i})$$

其实还有一个更简便的形式:

$$\binom{2n}{n} - \binom{2n}{n - 1} \\ =\frac{\binom{2n}{n}}{n + 1}$$

一个经典题

有 $n$ 个数, 选择其中若干数, 使得每连续 $k$ 个数中都至少有一个数被选中, 且选出的数的和最小.

$$k<=n<=1000\\ k<=n<=100000$$

令 $dp_i$ 表示前 $i$ 个数满足题目要求且第 $i$ 个数被选中, 这样的情况下选出的数的和最少是多少.

通过枚举上一个被选出的数 $j$ 在哪里, 有:

$$dp_i=min(dp_j)+a_i\ (i - j \leq k)$$

$O(n^2)$

单调队列

我们合法的转移区间不断向右移动, 而这就是一个典型的滑动窗口问题.

对于两个决策 $j_1$, $j_2$, 满足 $j_1 < j_2$

若 $dp_{j_1} < dp_{j_2}$, 则当 $i - j_1 >k$, $i - j_2 \leq k$时, $j_2$ 能代替 $j_1$

若 $dp_{j_1} \geq dp_{j_2}$, 则无论何时, $j_1$ 都不可能比 $j_2$ 优, 可以直接删除.

每次在队列末尾插入删除一个数或者在队首删除一个数, 且该队列始终保持单调递增.

因此称为单调队列优化.

每个数进入队列出队列一次, 转移是 $0(1)$ 的, 总时间复杂度为 $O(n)$

int l=1,r=0;
for (int i=1;i<=n;i++) {
  while (l<=r&&q[l]<i-m)
    l++; //把已经不在合法转移区间去掉
  dp[i]=a[i]+dp[q[l]] ;
  while (l<=r&&dp[l]<=dp[q[r]])
    r--; //核心，及时弹出对答案贡献一定不如 i 的元素
  q[++r]=i;
}

区间 DP

区间 DP 一般就是设 $dp_{i, j}$ 表示区间 $[i,j]$ 所能形成的最优答案或者方案数.

或者像序列一样, 多加几维表示附加的信息.

最简单的区间dp:合并石子

有 $n$ 堆石子, 每次只能合并相邻的两堆石子, 并且消耗相邻两堆石子个数的体力值, 问最少消耗多少体力值将 $n$ 堆石子合并为 $1$ 堆.

$N \leq 100$

$dp_{i, j}$ 表示将区间 $[i,j]$ 这段区间内的石子合并为 $1$ 堆的最小体力值.

答案就是 $dp_{1, n}$.

转移, 考虑对于区间 $[i, j]$ 它一定是由两段区间 $[i,k]$, $[k+1,j]$ 合并成的, 所以转移就考虑枚举 $[i,j]$ 区间内的一个分割点 $k$ 转移即可。

$$dp_{i, j} = sum_{i, j} + min(dp_{i, k} + dp_{k + 1, j})\ (i \leq k < j)$$

一定要注意区间 DP 的枚举顺序!

for (int l = n; l >= l; l--)
  for (int r = l; r <= n; r++)
    if (l == r)
      dp[l][r] = 0;
    else {
      dp[l][r] = inf;
      for (int k = l; k < r; k++)
        dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r]+(sum[r] - sum[l - 1]));
    }

CF 245H

给定一个字符串 $S$, $Q$ 组询问, 每次询问区间 $[l,r]$ 内有多少回文子串.

$len_S \leq 1000$

状态: $dp_{i, j}$ 表示区间 $[i,j]$ 有多少回文子串.

$$dp_{i, j} = dp_{i, j - 1} + dp_{i+1, j} - dp_{i+1, j-1} + ([i,j]是否是回文串)$$

poj 3280

给你长度为 $m$ 的字符串, 其中有 $n$ 种字符, 每种字符都有两个值, 分别是插入这个字符的代价, 删除这个字符的代价, 让你求将原先给出的那串字符变成一个回文串的最小代价.

$dp_{i, j}$ 代表区间 $i$ 到区间 $j$ 成为回文串的最小代价, 那么对于 $dp_{i. j}$ 有三种情况:

• $dp_{i+1, j}$ 表示区间 $i$ 到区间 $j$ 已经是回文串了的最小代价, 那么对于 $s_i$ 这个字母, 我们有两种操作, 删除与添加, 对应有两种代价, $dp_{i+1, j} + add_{s_i}$ 或 $dp_{i+1, j} + del_{s_i}$, 取这两种代价的最小值.

• $dp_{i, j - 1}$ 表示区间 $i$ 到区间 $j - 1$ 已经是回文串了的最小代价, 那么对于 $s_j$ 这个字母，同样有两种操作, $dp_{i, j-1}+add_{s_j}$ 或 $dp_{i, j-1} + del_{s_j}$, 取最小值.

• 若是 $s_i == s_j$, $dp_{i+1, j-1}$ 表示区间 $i + 1$ 到区间 $j - 1$ 已经是回文串的最小代价, 那么对于这种情况, 我们考虑 $dp_{i, j}$ 与 $dp_{i+1, j-1}$ 的大小.

然后 $dp_{i, j}$ 取上面这些情况的最小值.

能量项链

环形问题有一个很常见的处理办法是, 断环为链, 然后把这个链复制一遍接在原链的后面.

然后做区间 DP, 最后取答案就是找 $dp_{i, i+n-1}$ 里面取最优的即可.

在项链上有 $N$ 颗能量珠. 能量珠是颗有头标记与尾标记的珠子, 这些标记对应着某个正整数. 并且, 对于相邻的两颗珠子, 前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记.

如果前一颗能量珠的头标记为 $m$, 尾标记为 $r$, 后一颗能量珠的头标记为 $r$, 尾标记为 $n$, 则聚合后释放的能量为 $m * r * n$, 新产生的珠子的头标记为 $m$, 尾标记为 $n$.

需要时, Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子, 通过聚合得到能量, 直到项链上只剩下一颗珠子为止. 显然, 不同的聚合顺序得到的总能量是不同的, 请你设计一个聚合顺序, 使一串项链释放出的总能量最大.

$N \leq 100$

在读入的时候现将珠子们复制一遍放到后面, 断环成链

设 $f_{j, i}$ 表示左端点为 $j$ 号珠子, 右端点为 $i$ 号珠子的区间所能得到的最大能量, 转移就枚举最后一步聚合的位置即可.

$$f_{j, i} = max(f_{j, i}, f_{j, k} + f_{k + 1, i} + a_j * a_{k + 1} * a_{i + 1})\\ Ans = max(f_{1, n}, f_{2, n}, f_{3, n},..., f_{n, 2n - 1})$$

区间dp两类主要的转移套路

一般 $n=1000$ 的区间 DP 问题, 由于状态就是二维的了, 转移一般都是 $O(1)$, DP 转移过程中主要考虑就是 $L$ 和 $R$ 两个边界的情况, 正如之前的 $2$ 道题.

而 $n = 100$ 的区间 DP, 除了边界往往还要枚举这个区间从哪个位置划分.

不能说一定是这样, 但是绝对是一个很好的思考方向. 看数据范围猜算法.

总结

• 组合数学的经典数列: 卡特兰数

• 序列 DP 问题一种常见的优化方法: 单调队列优化. 之后背包 DP 和基环树问题中，都要涉及单调队列优化, 我们在此先对其有个初步的了解.

• 括号序列问题, 把左括号看成 $+1$ 右括号看成 $-1$ 的常用套路.

• 区间 DP 状态设计的一般形式.

• 区间 DP 处理环形问题.

• 区间 DP 转移一般考虑区间边界的情况, 或者由两个小区间合起来的情况.

整理自赵和旭的 DP 课件.