P1842 [USACO05NOV]奶牛玩杂技

题意

Luogu P1842 $_{这两天光做数据结构紫板子, 来水一道黄的摸摸鱼}$

一只奶牛有两个属性, 力量 Stg 和质量 Weg. 将奶牛摞成一摞, 一只奶牛的压扁指数是其上所有奶牛质量和减它自己的力量, 求奶牛中压扁指数最大值的最小值.

分析

最大值最小, 一上来就写了个二分答案, 在想 Judge 函数怎么写的时候, 推式子直接推出了贪心策略, 遂大喜, 用贪心打了一遍过了, 以下是推式子过程.

两个属性都大的必在下

首先, 考虑两只相邻的牛. 如果一只牛 Stg 和 Weg 都比另一头大, 那它必然要放在下面, 因为如果换过来, 两头牛中最扁的会再扁 $max(-Stg1, Weg1 - Stg2) - max(-Stg2, Weg2 - Stg1)$

因为 $-Stg1 < Weg1 - Stg2$, 所以表达式变成 $Weg1 - Stg2 - max(-Stg2, Weg2 - Stg1)$, 整理得 $max(Weg1, Weg1 - Weg2 + Stg1 - Stg2)$

由于 $Stg1 > Stg2$, $Weg1 > Wei2$, 所以表达式恒为正, 所以 Stg 和 Weg 都相对大的牛要在下面.

推广

考虑牛 $2$ 放在牛 $1$ 上的条件.

$$max(-Stg1, Weg1 - Stg2) - max(-Stg2, Weg2 - Stg1) > 0$$

如果将上面的式子简单整理, 就会得到:

$$max(Stg2, Weg1 + Stg1) > max(Stg1, Weg2 + Stg2)$$

已知 $Stg2 < Weg2 + Stg2$, $Stg1 < Weg1 + Stg1$

可以看出, $Stg2$ 要小于 $Weg1 + Stg1$, 否则, 就可以整理出 $Stg2 > Weg2 + Stg2$ (不成立).

得到:

$$max(-Weg1, Weg2 + Stg2 - Weg1 - Stg1) < 0$$

$-Weg1$ 必然是负数, 可知下面的牛 $Stg + Weg$ 的和尽可能大, 推得上面的牛 $Stg + Weg$ 尽量小, $Stg + Weg$ 相同时, $Weg$ 大的在下.

贪心策略就是以 $Stg + Weg$ 为第一关键字, 升序排序, 以 $Weg$ 为第二关键字, 升序排序.

实现

结构体 + 重载运算符 + sort, 最后 $O(n)$ 统计答案.

unsigned int n, tmp(0) /*质量前缀和*/;
int ans(-0x3f3f3f3f);  //初始值足够小
struct Cow {
  unsigned int Weg, Stg;
  const bool operator<(const Cow &x) const {
    if (this->Stg + this->Weg == x.Stg + x.Weg) {  //第一关键字相同
      return this->Weg < x.Weg;                    //以第二关键字为序
    }
    return this->Stg + this->Weg < x.Stg + x.Weg;  //以第一关键字为序
  }
} C[50005];
int main() {
  n = RD();
  for (register unsigned int i(1); i <= n; ++i) {
    C[i].Weg = RD();
    C[i].Stg = RD();
  }
  sort(C + 1, C + n + 1);  //按 Cow 的规则升序排序
  for (register unsigned int i(1); i <= n; ++i) {
    ans = max(ans, (int)tmp - (int)C[i].Stg);  //尝试更新答案
    tmp += C[i].Weg;                           //累计质量
  }
  printf("%d\n", ans);
  return 0;
}