Luogu P2022 有趣的数

P2022 有趣的数

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题目描述

让我们来考虑1到N的正整数集合。让我们把集合中的元素按照字典序排列，例如当N=11时，其顺序应该为：1,10,11,2,3,4,5,6,7,8,9。

定义K在N个数中的位置为Q(N,K)，例如Q(11,2)=4。现在给出整数K和M，要求找到最小的N，使得Q(N,K)=M。

输入格式

输入文件只有一行，是两个整数K和M。

输出格式

输出文件只有一行，是最小的N，如果不存在这样的N就输出0。

输入输出样例

输入 #1

2 4

输出 #1

11

输入 #2

100000001 1000000000

输出 #2

100000000888888879

说明/提示

数据约定

\(40\%\)的数据，\(1<=K\),\(M<=10^5\)；

\(100\%\)的数据，\(1<=K\),\(M<=10^9\)。

题解

参照此篇题解

\(m\) 的意义

由于 \(m\) 是 \(k\) 的位次, 所以有 \(m - 1\) 个数排在其之前.

显然这个题主要讨论的就是有多少个数在 \(k\) 之前, 所以首先将 \(m\) 变成 \(m - 1\), 将问题转化.

答案的单调性

对于一个数 \(k\), 则对于所有 \(n \ge k\), \(Q(n, k)\) 随 \(n\) 的增加而增加 (严格地说是不下降), 所以, 这个题的答案是可以二分的 (很显然不能二分, 因为答案区间很大, 二分的复杂度约为 \(O(N(\log_2N)^2)\), 约 \(10 ^ 9 * 31^2 \approx 10 ^ {12}\), 详见这篇题解)

另辟蹊径

既然不能二分, 寻找此题其他性质, 有 \(n - 1\) 个数排在 \(k\) 前面, 且相同位数的数字是连续出现的. 即排序后, 位数不同的数会排成几个个公差为 \(1\) 的数列, 如 \(Q(11, 9) = 11的排列\)

\[\{1, 10, 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \]

将 \(9\) 前面的数字排序后:

\[\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 9\} \]

可以看到从 \(1\) 到, \(8\), 从 \(10\) 到 \(11\) 是连续的.

所以可以尝试按位数来枚举排在 \(k\) 前面的数.

\(Min\) 的意义

由最开始 \(Q(n, k)\) 随 \(n\) 单调递增可得, 对于每一个 \(k\), 一定存在

\[Q(k, k) \leq Q(n, k)\ ,\ (n \geq k) \]

用 \(Min\) 存 \(Q(k, k) - 1\), 可以判断是否有解, 并且作为求解的第一步.

如何求值, 还是根据本题相同位数连续出现的性质, 按位求.

设 \(k\) 有 \(len\) 位.

对于比 \(k\) 位数少的数, 如果其位数为 \(i (i \leq len)\), 则设 \(k\) 的前 \(i\) 位组成的 \(i\) 位数为 \(k_i\), 所有 \(i\) 位数中, 小于等于 \(k_i\) 的数排在 \(k\) 前面, 大于 \(k_i\) 的数排在 \(k\) 后面.

对于和 \(k\) 相同位数的数, 比 \(k\) 小的数都在 \(k\) 前面, 比 \(k\) 大的数都在 \(k\) 后面.

但是对于 \(k\) 本身也计算进去了, 所以需要再减去 \(1\).

得到 \(Min\) 的表达式

\[Min = (\sum _{i = 1}^{len} k_i - 10^{i - 1} + 1) - 1 \]

其中 \(k_i = \frac{k}{10^{len - i}}\)

所以

\[Min = (\sum _{i = 1}^{len} \frac{k}{10^{len - i}} - 10^{i - 1} + 1) - 1 \]

判断答案存在性

由于\(k\) 前面的最少有 \(Min\) 个数, 所以

\(k < Min\), 则答案不存在;

\(k = Min\), 则答案就是k;

\(k > Min\), 则继续枚举更高位数的数.

求出答案

这时, 已经求出 \(Min\) 且 \(Min > m\), 从 \(len + 1\) 位数开始枚举.

其实和位数小于 \(len\) 的数相似, 但是不同的是, \(k_i\) 此时排在 \(k\) 之后, 可以很简单地写出上面表达式中 \(i > len\) 的情况.

\(i\) 位数中排在 \(k\) 前面的数的个数

\[k * 10^{i - len} - 10^{i - 1} \]

所以只要枚举位数 \(i\), 求出 \(n\) 的位数 \(len_n\)

(由于最高位数的数大概率取不完, 所以这里先算能取完的位数 \(len_n - 1\), 之后再算缺少的数)

\[\sum _{i = 1}^{len_n - 1}\left\{ \begin{aligned} k * 10^{i - len} - 10^{i - 1} + 1\ \ (i < len)\\ k * 10^{i - len} - 10^{i - 1}\ \ (i \geq len) \end{aligned} \right\}< m \]

这时的 \(n\) 是 \(k * 10^{len_n - len - 1}\) 也就是 \(k\) 后面补 '\(0\)', 直到位数达到 \(len_n - 1\).

设上式所求的 \(k\) 前面的数字有 \(Q'\) 个, 距离要求的 \(m\) 个还差 \(m - Q'\) 个.

还差的这些数无疑位数是 \(len_n\), 而且一定是从 \(10^{len_n - 1}\) 开始, 到 \(10^{len_n - 1} + m - Q' - 1\) 结束, 所以最后的答案是

\[n = 10^{len_n - 1} + m - Q' - 1 \]

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
long long m, k, Ten[20], len(0), Min(0);
void getlen(long long x) {  //将 len 赋值为 x 的位数
  while (x) {
    ++len;
    x /= 10;
  }
  return;
}
void getmin(long long x) {  //将 Min 赋值为 Q(x, x) - 1
  for (register int i(1); i <= len; ++i) {
    Min += k / Ten[len - i] - Ten[i - 1] + 1;
  }
  Min--;  //去掉 k 本身
  return;
}
int main() {
  Ten[0] = 1;
  for (int i = 1; i < 19; ++i) {  //预处理10^i
    Ten[i] = Ten[i - 1] * 10;
  }
  scanf("%lld%lld", &k, &m);
  m--;
  getlen(k);  //求 len
  getmin(k);  //求 Min
  if (Min > m) {
    printf("0\n");
    return 0;
  }
  if (Min == m) {
    printf("%d\n", k);
    return 0;
  }
  register int lenn(len + 1);  //因为要枚举 lenn, 所以 lenn 充当循环控制变量
  while (Min < m) {  //这时的 Min 代表当前枚举到的排在 k 前面的数的个数
    if (lenn >= 20) {  //防止答案过大
      printf("0\n");
      return 0;
    }
    Min += k * Ten[lenn - len] - Ten[lenn - 1];
    ++lenn;
  }
  --lenn;  // lenn 从 lenn + 1 变回 lenn
  Min -=
      k * Ten[lenn - len] - Ten[lenn - 1];  // Min 回到 lenn = lenn - 1 时的情况
  printf("%lld\n", Ten[lenn - 1] + m - Min - 1);
  // system("pause");  // VSC用户常常忘记删除的一行
  return 0;
}