莫比乌斯反演 (二): 莫比乌斯反演定理

莫比乌斯反演 ( 二 ): 莫比乌斯反演定理

首先设两个任意函数F(x)和f(x), 定义运算:

$$F(x)=\sum _{d|x} f(d)$$

这时就可以用f(x)表示F(x):

$$F(1)=f(1)\\ F(2)=f(1)+f(2)\\ F(3)=f(3)+f(1)\\ F(4)=f(4)+f(2)+f(1)\\ F(5)=f(5)+f(1) \\ F(6)=f(6)+f(3)+f(2)+f(1)\\ ......$$

这时可以试着用F(x)表示f(x):

$$f(1)=F(1)\\ f(2)=F(2)-f(1)=F(1)\\ f(3)=F(3)-f(1)=F(3)-F(1)\\ f(4)=F(4)-f(2)-f(1)=F(4)-F(2)\\ f(5)=F(5)-f(1)=F(5)-F(1)\\ f(6)=F(6)-f(3)-f(2)-f(1)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)\\ ......$$

这里总结出几个推论: 设质数p, 则可以写出F(x)函数表示f(p)的公式

$$\because F(p)=f(1)+f(p)\\F(p^2)=f(1)+f(p)+f(p^2)\\\therefore f(p)=F(p^2)-F(p)$$

其余情况下, 对任意数n, f(n)是由其因数的F(x)函数, 都是由n的因数的F(x)函数值加减得到的, 对于每一项的正负, 和

莫比乌斯函数μ(x)有关, 这就牵扯到上一篇文章:莫比乌斯函数

$$\because \mu(p^2)=0 \\f(p)=F(p^2)-F(1)\\\therefore f(n)=\sum _{d|n} \mu(d)F(\frac nd)$$

这便是莫比乌斯反演定理.