洛谷网校:数论(一)
2020.1.29
数论(二)
1.引入
一开头讲了整除,质数,合数,质因数分解,带余除法,两数同余等小学基础知识,不加赘述。
有关推论:
1.约数总是成对出现
若 k 是 n 的约数, 则 (n/k) 也是 n 的约数。 在一对约数中,必有一个不大于 √ n,另一个不小于 √ n。 因此枚举 1..√ n 就能求出 n 的所有约数。
2.整除的表示
a|b表示:b%a=0
3.同余的表示
a ≡ b(mod c) 与 c|(a − b) 等价,表示:a%c=b%c
2.最大公约数
gcd(a,b)=gcd(a,a+b)=gcd(a,ka+b)
gcd(ka,kb) = k·gcd(a,b)
gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)
3.欧几里得算法(辗转相除法)
a>=b的前提下
由gcd(a,b)=gcd(a,ka+b)推得:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)(k为a/b(整除)的相反数)
所以每次较大数都减少至少一半(取模运算,易证)
所以时间复杂度为O(log2n)
4.裴蜀定理
若d=gcd(a,b),则对任意整数x,y有d|(ax + by)成立(理所当然地成立)
且一定有x,y满足ax+by=d(18和24:gcd(18,24)=6,(-1)·18+(1)·24=6)
5.扩展欧几里得算法
给上面的裴蜀定理推论的方程 ax+by=d 求解
考虑使用欧几里德算法的思想
d=gcd(a,b),令a=bq+r,r=a%b
由欧几里得算法可知gcd(a,b)=gcd(b,r),方程化为bx0+ry0=d
最终,将化为gcd(d,0)=gcd(a,b)=d,方程化为dxn+0yn=d
显然,xn=1,yn=任意数
考虑如何把xn,yn变形成 ax + by = d 的解。
将a=bq+r代入ax+by=d得 –> (bq+r)x+by=d –> bqx+rx+by=d –> b(xq+y)+rx=d
因为bx0+ry0=d,故:x0=xq+y,y0=x
整理求出解:x=y0,y=x0-y0q
边界条件 b=0时,x=1,y=0(本段第5行有交待)
代码实现
void kzojld(int a,int b,int $x,int $y) {//由于以后x,y要参与回溯,所以要传址调用
if(!(b)) {//边界:b=0时,x=1,y=0()
x=1;
y=0;
return;
}
int r=a%b;//记录模数
int q=a/b;//记录倍数
kzojld(b,r,y,x);//b,r的y变成a,b的x(x=y0);b,r的x暂时作为a,b的y(y=x0-y0q,接下来还会进行处理)
y-=x*q;//此时y=x0,在这样的基础上减去q*y0(x=y0)
return;
}//不错,算是默写了(当然是看着上面的算法写的)
但是,怎样求出所有解呢?
先用扩展求出任意一个解 x0,y0
再求出ax+by=0的最小的解(x,y绝对值最小)
仍然是d=gcd(a,b)
这时设:dx=x= b/d,dy=y=−a/d (其实乘a或b以后,积的绝对值都是a,b的最小公倍数,必须一正一负,这样才能相加等于0)
原方程所有解就是,k取任意整数时的
x = x0 + kdx
y = y0+ kdy
所以x,y有无数组,利用这种方法可以求出第n小的解(绝对值)