ybt1196踩方格

ybt1196 踩方格

【题目描述】

有一个方格矩阵，矩阵边界在无穷远处。我们做如下假设：

a、每走一步时，只能从当前方格移动一格，走到某个相邻的方格上；

b、走过的格子立即塌陷无法再走第二次；

c、只能向北、东、西三个方向走；

请问：如果允许在方格矩阵上走n步，共有多少种不同的方案。2种走法只要有一步不一样，即被认为是不同的方案。

【输入】

允许在方格上行走的步数n(n≤20)。

【输出】

计算出的方案数量。

【输入样例】

2

【输出样例】

7

分析题目，可知本题的行走规则和过河卒相似，但路径不能重走

先看方向，设上北下南左西右东，则只能往前左右走

很容易知道，n=1时，答案为3。

那么当n=2的时候，就可以把问题分成三部分:

第一步朝上走，可以近似的看成在新起点上随便走一步，有3种情况，

第一步朝左走，可以近似的看成在新起点上禁止往右走，有2种情况，

同理，第一步往右走，也是两种情况，那么n=2时，就是7种情况。

设n=i时，答案为f_i,那么显然n=i时，第1步往上走会有f_i-1种情况，那么只要正确求出第一步往左右的情况，答案就可求了。

这里统称往左和往右为往侧面走。

只走一步，有1一种情况；

走2步，有两种情况；

走3步，有5种情况（f₁+2）

·········

所以往侧面的路径可以理解为网络的总线结构，一条射线上每隔一个单位生出一个分支，越早生出的分支生长越大，这样就可以写出n=i时往侧面走的表达式：

f_i-1+f_i-2+···+f₁+2

因为侧面包括左右，所以：

f_i=2(f_i-1+f_i-2+···+f₁+2)+f_i-1

递推式写好了，边界条件也很明确：f₁=3

接下来就可以打代码了

#include<iostream>
using namespace std;
int f[25],n;
int main() {
	f[0]=0;
	f[1]=3;
	cin>>n;
	if(n==0) {//特判
		cout<<0;
		return 0;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		for(int j=i-2;j>=1;j--) {
			f[i]+=2*f[j];//2*(f[i-1]+...+f[111])
		}
		f[i]+=f[i-1]+4;//2*2+f[i-1]
	}
	cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}