混沌图像---洛伦兹的蝴蝶

Lorenz系统作为第一个混沌模型，是混沌学发展史上的一个重要的里程碑，具有举足轻重的地位。我看过很多本关于混沌方面的书,每一本都会有洛伦兹吸引子，并且几乎每一本的封面上都会画上洛伦兹的蝴蝶曲线。虽然我看了这么多书，却始终没明白，这洛伦兹的方程式怎么就跟天气发生了关系。气象学家洛伦兹在1963年论文中提出的它的公式以表示天气模型。天气系统如此复杂，用数百万个变量来描述都不为过，但洛仑兹将其压缩到了三个变量：x，y和z，所以这只是一个玩具模型。这个玩具模型对于他的论点来说，也许恰到好处。之前的天气模型大多是线性的，没有过多考虑各种因素之间的复杂关系，洛伦兹早认为这样的模型无法描述多变的天气。而他的模型，尽管只有三个随着时间变化的变量，但变量之间却有着非线性的联系，能够很好地诠释了因素之间的相互影响。

　　就在这样简单的Lorenz模型之下，出现了混沌现象。而且这种现象似乎是普遍的，因为在三个变量取值的大部分可能性下，系统演变的轨迹都会渐渐趋近于同一个产生混沌的区域，就像磁铁吸引着图钉，混沌的行为成为了必然。这就是人们发现的第一个混沌吸引子：洛伦兹吸引子。它的形状，就像一只蝴蝶；这大概也是洛伦兹将这种混沌的现象称为“蝴蝶效应”的原因。一只南美洲蝴蝶的扑翼，在蝴蝶效应的放大下，也许引起德克萨斯州的一场飓风。天气不可能准确预测，因为天气是混沌的，微小的扰动在长远看来是不可忽略的，而我们又无力去追踪无数的扰动，只能一边预计，一边修正。

如果不明白上面的话也无所谓，反正这里研究的不是天气、不是雾霾，我只是用洛伦兹吸引子生成漂亮的图像。

这里使用自己定义语法的脚本代码生成混沌图像.相关软件参见:YChaos生成混沌图像.如果你对数学生成图形图像感兴趣,欢迎加入QQ交流群: 367752815

先上脚本代码:

 1 [ScriptLines]
 2 u=a*(y - x)
 3 v=b*x - y - x*z
 4 w=x*y - c*z
 5 x=x+u*t
 6 y=y+v*t
 7 z=z+w*t
 8 
 9 [Variables]
10 a=10.000000
11 b=28.000000
12 c=2.666667
13 t=0.001000
14 x=-10.000000
15 y=10.000000
16 z=25.000000

生成如下的图像:

如果你了解洛伦兹的数学公式,你会发现它实际上是三维的,有XYZ三个维度。这里只是生成二维的图像，所以这里需要将三维的数据投影到一个二维平面上。可以先想象一下夏天拍蚊子的情景，将空间中的蚊子拍死在二维的墙面上。如果是拍人呢，可以选择前后拍，左右拍，最残忍的应该是上下拍。记得小说《三体》中有一种很厉害的武器是张小纸条，它能够将三维的世界拍成二维的，于是地球以及整个太阳系就这么被毁灭了。

上述脚本是使用默认的XOY面做为投影面，同样也可以使用XOZ面，YOZ面。

YOZ

[ScriptLines]
u=a*(j - i)
v=b*i - j - i*k
w=i*j - c*k
i=i+u*t
j=j+v*t
k=k+w*t
x=i
y=j*cos(d) - k*sin(d)
z=j*sin(d) + k*cos(d)

XOZ

[ScriptLines]
u=a*(j - i)
v=b*i - j - i*k
w=i*j - c*k
i=i+u*t
j=j+v*t
k=k+w*t
x=i*cos(d) - k*sin(d)
y=j
z=i*sin(d) + k*cos(d)

将三维的物体投影到二维平面上，你可以将其按任意角度，任意平面去投影，下面的公式为将图形以Z轴旋转一定角度：

[ScriptLines]
u=a*(j - i)
v=b*i - j - i*k
w=i*j - c*k
i=i+u*t
j=j+v*t
k=k+w*t
x=i*cos(d) - j*sin(d)
y=i*sin(d) + j*cos(d)
z=k

洛伦兹吸引子是没有随机性的，但我可以强行为其加上随机性：

[ScriptLines]
u=a*(y - x)
v=b*x - y - x*z
w=x*y - c*z
x=x+u*t + rand2(-r,r)
y=y+v*t + rand2(-r,r)
z=z+w*t + rand2(-r,r)

说实话，这几幅洛伦兹蝴蝶的图像颜色看着有些难看。当时我只是随意写了个配色函数，感觉是惨绿惨绿的。下面将帖几张漂亮点的蝴蝶图像: