洛谷P2508 [HAOI2008]圆上的整点

结论题 数学

做这道题之前首先要知道勾股方程的通解

勾股方程：\(x^2+y^2=r^2\)的通解为x = \(d*\frac{a^2-b^2}{2}\), y = \(d*a*b\), r = \(d*\frac{a^2+b^2}{2}\)

其中a, b为互质的正整数，d为任意实数

其实也就是勾股数乘上一定的倍数，简化：

x = \(\frac{a^2-b^2}{2}\), y = \(a*b\), r = \(\frac{a^2+b^2}{2}\)

然后我们考虑使得x, y为正整数的方程的解，此时d为正整数且为2r的约数，我们只需枚举2r的约数，然后枚举有多少个满足条件的\(a^2+b^2\)即可

因为x>0，故a>b，因此我们只需要枚举\(\sqrt{\frac{r}{d}}\)个b即可，若a,b互质且\(a^2+b^2=\frac{2*r}{d}\)，令ans++。

最后原题要求x,y的整数解，（x,y）可以在4个象限中，再加上坐标轴上的四个点，最终答案为ans*4+4

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define go(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define int long long

int r,ans;

int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; }
void calc(int d){
	int x=2*r/d,i;
	for(i=1;i*i*2<x;++i){
		int t=x-i*i,j=sqrt(t);
		if(j*j==t&&gcd(i,j)==1) ++ans;
	}
}

void work(){
	for(int i=1;i*i<=2*r;++i){
		if(2*r%i) continue;
		calc(i);
		if(2*r/i!=i) calc(2*r/i);
	}
}

signed main(){
	cin>>r;
	work();
	cout<<ans*4+4;
	return 0;
}