无向图连通性问题
无向图连通性
定义
- 割点：在无向图中，删去后使得连通分量增加的结点称为割点。
- 割边：在无向图中，删去后使得连通分量增加的结边称为割边。
- 点双连通图：不存在割点的无向连通图。
- 边双连通图：不存在割边的无向连通图。
割点
Tarjan 算法时间复杂度 \(O(n+m)\)，求全部的割点。
定义
定义 \(low_i\) 为结点 \(i\) 只经过非树边和子树边所能到达的最小 \(dfn_i\)。
步骤
- 使用
dfs求出 \(dfs_i\) 和 \(low_i\)； - 若结点 \(x\) 为非根结点，即 \(x \neq root\) ，若 \(\exists E(x,y),dfn_x \leq low_y\)，则 \(x\) 为割点
- 若 \(x\) 为根节点，则至少有两条边满足以上性质时，才可以判定为割点。
代码实现
时间复杂度 \(O(n+m)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
vector<int> e[N];
int dfn[N],low[N],tot = 0,root;
bool vis[N];
int ans = 0;
void add(int x,int y){
e[x].push_back(y);
e[y].push_back(x);
}
void dfs(int x){
dfn[x] = ++tot;
low[x] = tot;
int cnt = 0;
for(int i=0;i<e[x].size();i++){
int y = e[x][i];
if(!dfn[y]){
dfs(y);
low[x] = min(low[x],low[y]);
if(low[y] >= dfn[x]){
cnt ++;
if(x != root || cnt > 1){
if(!vis[x]){
ans ++;
vis[x] = true;
}
}
}
}else{
low[x] = min(low[x],dfn[y]);
}
}
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]){
root = i;
dfs(i);
}
}
printf("%d\n",ans);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(vis[i]){
printf("%d ",i);
}
}
}
割边
求割边的算法与割点类似，不同的是，割边存在的条件为 \(\exists E(x,y),dfn_x < low_y\)。
时间复杂度 \(O(n+m)\)。
边双连通
定义
- 边双连通图：若连通无向图不存在割边，则成为边双连通图。
- 边双连通分量 (e-DCC)：无向图的极大双连通子图叫做边双连通分量。
步骤
我可以先 dfs 求出割边，再跑一遍不走割边的 dfs 求出连通分量即可。
代码实现
时间复杂度 \(O(n+m)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5+5;
const int M = 2e6+5;
int head[N],nxt[M<<1],to[M<<1];
int dfn[N],low[N];
bool vis[M<<1],vvis[N];
vector<int> ans[N];
int cnt_ans = 0;
int tot = 1,cnt = 0,root;
void add(int x,int y){
nxt[++tot] = head[x];
to[tot] = y;
head[x] = tot;
nxt[++tot] = head[y];
to[tot] = x;
head[y] = tot;
}
void tarjon(int x,int last_edge){
dfn[x] = low[x] = ++cnt;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y = to[i];
if(!dfn[y]){
tarjon(y,i);
low[x] = min(low[x],low[y]);
if(low[y] > dfn[x]){
vis[i] = true;
vis[i^1] = true;
}
}else if(i != (last_edge^1)){
low[x] = min(low[x],dfn[y]);
}
}
}
void dfs(int x){
ans[cnt_ans].push_back(x);
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y = to[i];
if(vis[i] || vvis[y]){
continue;
}
vvis[y] = true;
dfs(y);
}
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]){
root = i;
tarjon(i,-1);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!vvis[i]){
cnt_ans ++;
vvis[i] = true;
dfs(i);
}
}
printf("%d\n",cnt_ans);
for(int i=1;i<=cnt_ans;i++){
printf("%d ",ans[i].size());
for(int j=0;j<ans[i].size();j++){
printf("%d ",ans[i][j]);
}
puts("");
}
}
点双连通
定义
- 点双连通图：若连通无向图不存在割点，则成为点双连通图。
- 点双连通分量 (v-DCC)：无向图的极大双连通子图叫做点双连通分量。
步骤
深搜，用栈记录下访问的每一个节点，遇到割点，全部弹出栈，加上割点，构成 v-DCC，详细步骤如下：
- 遇到一个新的点，直接加入栈；
- 遇到 \(dfn_x\leq low_y\) 的情况，则将全部结点弹出，然后将 \(x\) 结点也加入答案，共同构成一个点双连通分量；
- 对于单独的点（即没有与其它点相连的点，或者只与割点相连的点），需要特判。
代码实现
时间复杂度 \(O(n+m)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5+5;
vector<int> e[N],ans[N];
stack<int> s;
int dfn[N],low[N];
int tot = 0,root,cnt_ans = 0;
void add(int x,int y){
e[x].push_back(y);
e[y].push_back(x);
}
void tarjon(int x){
dfn[x] = low[x] = ++tot;
int son = 0;
s.push(x);
for(int i=0;i<e[x].size();i++){
int y = e[x][i];
if(!dfn[y]){
son ++;
tarjon(y);
low[x] = min(low[x],low[y]);
if(low[y] >= dfn[x]){
cnt_ans ++;
int t;
do{
t = s.top();
s.pop();
ans[cnt_ans].push_back(t);
}while(t != y && s.size());
ans[cnt_ans].push_back(x);
}
}else{
low[x] = min(low[x],dfn[y]);
}
}
if(x == root && son == 0){
cnt_ans ++;
ans[cnt_ans].push_back(x);
return;
}
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]){
while(s.size()){
s.pop();
}
root = i;
tarjon(i);
}
}
printf("%d\n",cnt_ans);
for(int i=1;i<=cnt_ans;i++){
printf("%d ",ans[i].size());
for(int j=0;j<ans[i].size();j++){
printf("%d ",ans[i][j]);
}
puts("");
}
return 0;
}
圆方树
对于一个图，将其中的点双连通分量抽象为一个方点，其余的点为圆点，将每一个点双连通子图连接为一个以所对应的方点为中心的菊花图，再将相连的原点连接，形成的树叫做圆方树。
性质
- 圆方树连通，当且仅当原图连通。
- 每一个方点连接的点为圆点，反之亦然。
- 圆方树的结点个数可能为 \(\left[N,2N\right]\)。
