《算法笔记》之算法初步
本篇主要内容：
基础算法：排序、散列、递归、贪心、二分以及其他高效技巧
一些算法题：八皇后、汉诺塔等
1.排序：
排序主要可以分为：选择排序、插入排序
选择排序：
主要介绍最为常用的简单选择排序
简单选择排序：基本思路是将一个序列分为1~n个单元，首先从这n个单元里选择出来最小的单元，将其与第一个位置的单元相交换，接着从2~n个单元里，找出最小单元，将其与第二个位置的单元相交换，依次进行下去......。这样在n趟操作之后就会形成一个从小到大的有序序列。
代码实现：一共进行n次操作，嵌套for循环，每次找出从i到n之中最小的数，然后与第i个位置数据进行交换
void SelectSort( int a[], int length ) { //对数组a排序,length是数组元素数量 for( int i = 0; i < length; i++ ) { // 找到从i开始到最后一个元素中最小的元素,k存储最小元素的下标. int k = i; for( int j = i + 1; j < length; j++ ) { if( a[j] < a[k] ) { k = j; } } // 将最小的元素a[k] 和 开始的元素a[i] 交换数据. if( k != i ) { int temp; temp= a[k]; a[k] = a[i]; a[i] = temp; } } }
插入排序：
主要介绍直接插入排序
直接插入排序：从2~n进行n-1次操作。假设这个时候是第i+1个数据，且前面1~i个数据均为有序数据，则将第i个数据插入到前面数据之中，因此可以采用for循环从2~n，内部嵌套上while循环，进行查找1~i之中第i+1个数据适合放在哪里。
void SelectSort(){ for(int i=1;i<n;i++){ int temp = A[i], j=i; while(j>0 && temp<A[j-1]){ A[j] = A[j-1]; j--; } A[j] = temp; } }
实例：
#include <iostream> using namespace std; int main(){ int num[5] = {3, 7, 1, 8, 5}; int i,j; int length = 5; for (i = 1; i < length; i++) { int temp = num[i]; j = i; while ( j > 0 && num[j-1] > temp) { num[j] = num[j-1]; j--; } num[j] = temp; } for(int k=0;k<length;k++){//打印数组 cout<<num[k]; } return 0; } 结果：13578
选择排序之实例剖析：
#include<iostream> using namespace std; const int MAX_NUM = 100; //选择排序 int main(){ int a[MAX_NUM]; int n; cin >> n; //共有n个整数待排序 for(int i = 0; i < n; ++i) //输入n个整数 cin >> a[i]; //下面对整个数组进行从小到大排序 for(int i = 0; i<n-1 ;++i){ //每次循环将第i小的元素放好 int tmpMin = i; //用来记录从第i个到第n-1个元素中,最小的那个元素的下标 for(int j=i; j<n;++j){ if(a[j]<a[tmpMin]) tmpMin = j; } //下面将第i小的元素放在第i个位置上,并将原来占着第i个位置的那个元素挪到后面 int tmp = a[i]; a[i] = a[tmpMin]; a[tmpMin] = tmp; } //下面两行将排序好的n个元素输出 for(int i=0;i<n;++i) cout << a[i] << endl; return 0; }
插入排序之实例剖析：
#include<iostream> using namespace std; //插入排序 void InsertionSort(int a[], int size) { int i; //有序区间的最后一个元素的位置,i+1就是无序区间最左边元素的位置 for(i = 0; i < size-1; ++i){ int tmp = a[i + 1]; //tmp是待插入到有序区间的元素,即无序区间最左边的元素 int j = i; while(j >= 0 && tmp < a[j]){ //寻找插入的位置 a[j + 1] = a[j]; //比tmp大的元素都往后移动 --j; } a[j + 1] = tmp; } } //输出二维数组,rows是行数 void PrintArray(int a[][5], int rows) { for(int i = 0; i < rows; ++i){ for(int j = 0; j < 5; ++j) cout << a[i][j] << " "; cout << endl; } } //主函数 int main(){ int b[5] = {50, 30, 20, 10, 40}; int a2d[3][5] = {{5, 3, 2, 1, 4},{10, 20, 50, 40, 30},{100, 120, 50, 140, 30}}; InsertionSort(b, 5); for(int i = 0; i < 5; ++i) cout << b[i] << " "; cout << endl; for(int i = 0; i < 3; ++i) //将 a2d每一行均排序 InsertionSort(a2d[i], 5); PrintArray(a2d, 3); return 0; }
2.散列
哈希表(也可以叫做散列表)，是根据 键（Key）而直接访问在内存存储位置的数据结构，也就是说，它通过计算一个关于键值的函数，将所需查询的数据映射到表中一个位置来访问记录，这加快了查找速度。这个映射函数称做散列函数，存放记录的数组称做哈希表。
哈希函数构造：
如果字符串S由A~Z组成：
如果字符串S由A~Z/a~z组成：
3.全排列问题（递归）：
//全排列：视频参考哔哩哔哩：正月点灯笼 #include <stdio.h> void swap(int A[], int i, int j){//用于交换数组的2个值 int temp = A[i]; A[i] = A[j]; A[j] = temp; } void printArray(int A[], int n){//用于打印数组 int i; for(i=0;i<n;i++){ printf("%d ", A[i]); } printf("\n"); } void perm(int A[], int p, int q){//全排列递归函数；p,q代表对数组A全排列的起始和结束 if(p == q){//递归结束条件 printArray(A, q+1); } else{ int i; for(i=p; i<=q; i++){ swap(A, p, i); perm(A, p+1, q); swap(A, p, i); } } } int main(){ int A[4] = {1, 2, 3, 4}; perm(A, 0, 3); return 0; }
4.N皇后问题：
//参考视频：小甲鱼算法视频（八皇后问题） #include <stdio.h> //count代表：共有多少种解决方法 int count = 0; //row：表示起始行 //n：表示列数 //(*chess)[8]：指向棋盘的行指针 int noDanger(int row, int j, int (*chess)[8]){//判断可不可以放棋子：为1，可以；为0，不可以； int i, k, flag1 = 0, flag2 = 0, flag3 = 0, flag4 = 0, flag5 = 0; //判断列的方向 for(i=0; i<8; i++){ if(*(*(chess+i)+j)!=0){ flag1 = 1; break; } } //判断左上方 for( i=row, k=j; i>=0 && k>=0; i--, k--){ if(*(*(chess+i)+k)!=0){ flag2 = 1; break; } } //判断右下方 for( i=row, k=j; i<8 && k<8; i++, k++){ if(*(*(chess+i)+k)!=0){ flag3 = 1; break; } } //判断右上方 for( i=row, k=j; i>=0 && k<8; i--, k++){ if(*(*(chess+i)+k)!=0){ flag4 = 1; break; } } //判断左下方 for( i=row, k=j; i<8 && k>=0; i++, k--){ if(*(*(chess+i)+k)!=0){ flag5 = 1; break; } } if(flag1 || flag2 || flag3 || flag4 || flag5){ return 0;//0：代表不可以摆放棋子 }else{ return 1;//1：代表该摆放位置正确，可以摆放棋子 } } //EightQueen:主要的递归函数 //(*chess)[8]：指向棋盘的行指针 //row指从哪一行开始 //n代表总列数 void EightQueen(int row, int n, int (*chess)[8]){ int chess2[8][8], i, j; for(i=0; i<8; i++){//复制chess数组 for(j=0; j<8; j++){ chess2[i][j] = chess[i][j]; } } if(row == 8){//结束条件：当到达最后一行的时候 printf("第%d种\n", count+1); for(i=0; i<8; i++){//打印出来解决方法 for(j=0; j<8; j++){ printf("%d ", *(*(chess2+i)+j)); } printf("\n"); } printf("\n"); count++; //解决方法+1 } else{//递归体 for( j=0; j<n; j++){ if(noDanger(row, j, chess)){//noDanger：为1代表可以摆放棋子；为0代表不可以摆放棋子 for( i=0; i<8; i++){//首先把这一行所有棋子先全置为0 *(*(chess2+row)+i) = 0; } *(*(chess2+row)+j) = 1;//将noDanger为1的第row行第j列置为1 EightQueen(row+1, n, chess2);//递归进行下一行的探测 } } } } int main(){ int chess[8][8], i, j; for(i=0; i<8; i++){ for(j=0; j<8; j++){ chess[i][j] = 0; } } EightQueen(0, 8, chess); printf("\n一共有%d种解决方法", count); return 0; }
5.汉诺塔问题：
//参考视频：正月点灯笼(汉诺塔) #include <stdio.h> int count=0; //hanoi函数：hanoi(int n, char A, char B, char C)理解（将n个盘子从A经过B移动到C） void hanoi(int n, char A, char B, char C){ if(n==1){ printf("%c-->%c\n", A, C); }else{ hanoi(n-1, A, C, B); printf("%c-->%c\n", A, C); hanoi(n-1, B, A, C); } count++; } int main(){ hanoi(6, 'A', 'B', 'C'); printf("一共移动%d次\n", count); return 0; }
6.归并排序：
//参考视频：正月点灯笼 #include <stdio.h> void merge(int arr[], int L, int M, int R){//有序数组合并合并 int L_size = M-L; int R_size = R-M+1; int left[L_size];//有序数组left：0~4 int right[R_size];//有序数组right：4~7 int i, j, k; for(i=0; i<=R; i++){//为left和right数组赋值 if(i<M){ left[i] = arr[i]; } else{ right[i-M] = arr[i]; } } i = 0, j = 0, k = L;//i为left数组起点；j为right数组起点；k为arr数组起点； while(i<L_size && j<R_size){//比较大小 if(left[i] > right[j]){ arr[k] = right[j]; k++; j++; }else{ arr[k] = left[i]; k++; i++; } } while(i<L_size){//如果left数组有剩余 arr[k] = left[i]; k++; i++; } while(j<R_size){//如果right数组有剩余 arr[k] = right[j]; k++; j++; } } void mergesort(int arr[], int L, int R){//归并排序 if( L==R ){//递归终止条件 return ; }else{//递归体 int M = (L+R)/2;//M=3=(0+7)/2； mergesort(arr, L, M); mergesort(arr, M+1, R); merge(arr, L, M+1, R);//如果L=0,R=7；那么此时merge合并时候的M应该为4=(0+7)/2+1； } } int main(){ //arr数组中0~4有序，4~7有序 //归并排序：将2个有序数组合并成为一个有序数组 //测试merge函数 /*int arr[8] = {2, 8, 9, 10, 4, 5, 6, 7}; int L = 0; int M = 4; int R = 7; printf("排序前:"); for(int i=0; i<8; i++){ printf("%d ",arr[i]); } printf("\n"); merge(arr, L, M, R); printf("排序后:"); for(int i=0; i<8; i++){ printf("%d ",arr[i]); }*/ //测试mergesort函数 int arr[8] = {2, 8, 9, 10, 4, 5, 6, 7}; int L = 0; int R = 7; mergesort(arr, L, R); for(int i=0; i<8; i++){ printf("%d ",arr[i]); } return 0; }
7.几种经典排序实现：
冒泡排序：
//参考视频：正月点灯笼 #include <stdio.h> //一次冒泡 void bubble(int arr[], int n){ int i, temp; for(i=0; i<n-1; i++){ if(arr[i]>arr[i+1]){ temp = arr[i]; arr[i] = arr[i+1]; arr[i+1] = temp; } } } //冒泡排序 void bubblesort(int arr[], int n){ for(int i=n; i>=1; i--){ bubble(arr, i); } } //测试 int main(){ int arr[]={2,1,5,4,3,6}; bubblesort(arr, 6); for(int i=0; i<6; i++){ printf("%d ",arr[i]); } return 0; }
选择排序：
//参考视频：正月点灯笼 #include <stdio.h> //找到最大值的下标 int findMaxPos(int arr[], int n){ int max = arr[0];//max int pos = 0;//max的下标 int i; for(i=0; i<n; i++){ if(arr[i]>max){ max = arr[i]; pos = i; } } return pos; } //选择排序 void selectsort(int arr[], int n){ while(n>1){ int pos = findMaxPos(arr, n); int temp = arr[pos]; arr[pos] = arr[n-1]; arr[n-1] = temp; n--; } } //测试 int main(){ int arr[]={2,1,5,4,3,6}; selectsort(arr, 6); for(int i=0; i<6; i++){ printf("%d ",arr[i]); } return 0; }
8.KMP算法：
//参考视频：正月点灯笼 #include <stdio.h> //求next数组（s代表字符串，next代表next数组，n代表长度） void next_table(char s[], int next[], int n){ next[0] = 0; int len = 0; int i = 1;; while(i<n){ if(s[i] == s[len]){ len++; next[i] = len; i++; } else{ if(len > 0){ len = next[len-1]; } else{ next[i] = len; i++; } } } } int main(){ char s[] = "ABABCABAA"; int next[9]; int n = 9; next_table(s, next, n); for(int i=0; i<n; i++){ printf("%d ", next[i]); } return 0; }
9.动态规划：
理论讲解推荐：https://www.bilibili.com/video/av16544031（强👍）
