简单易懂的 Tarjan求割点与桥 详解

一些简单的概念

连通分量：无向图G的极大连通子图称为G的连通分量

说人话：把无向图G分成几块，满足每一块内都是连通的，且几个块之间不连通，这些块就是G的连通分量

割点：无向连通图中，去掉一个顶点及和它相邻的所有边，图中的连通分量数增加，则该顶点称为割点。

说人话：如果去掉这个点，原来连通的某一块不连通了，那这个点就是割点

割边/桥：无向联通图中，去掉一条边，图中的连通分量数增加，则这条边称为割边或者桥

说人话：如果去掉这条边，这条边连着的两个点就不连通了，那这条边是割边/桥

比如下图：点1和点4为割点，边 1-4 为桥

那么我们如何求一张图的割点和桥呢？

Tarjan

（为了方便，以下先假设图连通）

割点

在一张图上跑dfs，由于访问过的点不会重复访问，显然把搜索过程中经过的所有边和点合起来会构成一棵树，这棵树被叫做搜索树，在这棵树上的边会被称作树边。
比如上一张图的搜索树如下：

如果一个点 $u$ 为割点，也即该点被去掉了会影响图的连通性，那么必然满足：至少存在 $u$ 的一个孩子节点 $v$，使得在原图上从 $v$ 出发，不经过 $u$ 无法到达不在 $u$ 子树上的其他点

比如在这棵树中，5、6在原图上不通过4不可能到达1、2、3三个点，所以4为割点

至于没有根节点的父节点，之后再额外做讨论

那么如何找到满足条件的点呢？这就要用到Tarjan了。

Tarjan定义了两个数组：

dfn[x]：表示在dfs过程中x是第几个被遍历到的，即dfs的时间戳。注意：如果dfn[x]>dfn[y]，这说明y必然不在x的子树上
low[x]：表示x不经过父节点的情况下，所能到达的dfn最小的节点。（事实上并不保证dfn一定最小，但这样可以方便理解）

在搜索过程中：

low[x]初始化为dfn[x]。
对于x的父节点，我们跳过它即可
在搜索的过程中，对于x的子节点y，x可以直接通过y到达low[y]，即low[x]=min(low[x],low[y])。
对于其他与x相连的点y，x到达low[y]的过程中不能保证不会经过x的父亲，所以我们只能让low[x]=min(low[x],dfn[y])。

最后是判断割点：

由于，在不经过非根节点x的情况下，如果x的孩子节点y能够到达某一不在x的子树上的节点，那么它必然能通过树上的边到达某一dfn值小于x的节点，也就是说必然满足low[y]<low[x]
反之，如果low[x]>=low[y]，则y必然不能在不通过x的情况下到达其他点
也就是说，如果存在x的儿子节点y，使得low[x]>=low[y]，则x为割点

当然，前提是这个点并非是根。如果是根的话，我们另外进行判断。
如果根节点的两棵子树通过某条边相连，那么我们必然在dfs的过程中必然能通过该边从一棵子树到另一棵子树，那两棵子树就变成一棵了。所以只要根节点有两棵或以上的子树，就说明两棵子树没有其他边相连，根节点即为割点


请注意：以上只是对于Tarjan的概述，只能方便理解，但仍然有不少漏洞，并非严谨证明。只不过足够我们AC了

桥

与割点几乎一致的思路。如果一条边是桥，那么我们必然无法在不通过这条边的情况下到达其他点——只不过我们这次还加了一个限制：由于不让通过那条边，我们现在连根节点都去不了

所以当节点x有子节点y满足low[y]>dfn[x]，就说明不能不通过(x,y)到达其他点，就说明(x,y)为桥

上代码

vector<int> s[114514];
int de,cnt;
int dfn[114514],low[114514],vis[114514];
int is_cut[114514],is_bri[114514];
void dfs(int x,int fa){
	de++;
	low[x]=dfn[x]=de;
	vis[x]=1;
	for(int y:s[x]){
		if(y==fa) continue;
		if(vis[y]==0){
			dfs(y,x);
			low[x]=min(low[y],low[x]);
			if(!fa){
				cnt++;
				if(cnt>=2) is_cut[x]=1; //对根进行特判 
			}
			else if(low[y]>=dfn[x]) is_cut[x]=1;
			if(low[y]>dfn[x]) is_bri[y]=1;//is_bri[i]代表i与其父亲的连边是否为桥
		}
		else 
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}