卡特兰数学习笔记

简介

总之就是一个很神奇的数列：1,1,2,5,14,42,132……
可以由多种递推式、通项公式得出
运用相关思想，能够解决很多奇奇怪怪的计数问题

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经典应用

长度为2n的括号序列个数

就类似()()()这种序列，每一个前括号，在它后面都有唯一一个后括号都能对应

考虑第一个左括号与第$i$个右括号匹配，那么这对括号之间是一串长度为$2(i-1)$的括号序列，这对括号右边是一串长度为$2(n-i)$的括号序列，两者相互独立，根据乘法原理，就有：

$$f(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i-1)\cdot f(n-i)$$

最后f(n)即为卡特兰数第n项，这也是卡特兰数的递推式之一

在网格图中，在正方形右下方从（0,0）走到（n,n）的方案数

将问题描述得更加具体一点：
在网格图中，只允许向上或向右走，且不允许越过正方形连接(0,0),(n,n)的对角线，求总方案数

显然：往右走的步数等于往上走的步数，且路径不越过对角线，说明对于任意时刻，向上走的次数都不超过向下走的次数。换言之假设最后方案为一个向右向上的操作序列（如右上右右上上），对于序列中任意向右走的操作，在它右边都有唯一一个向上走的操作，这与括号序列的定义一致

所以该问题的答案为：

$$f(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i-1)\cdot f(n-i)$$

组合数优化

虽然我们求出了递推式，但是该递推式的复杂度为 $O(n^2)$ ，并不优秀。我们可以尝试优化一下。

考虑第二个例子

为了方便讨论，我们将在网格上的操作转换为在数轴上的操作。即将向右操作变为 $+1$（或者说向右移动），向上操作变为 $-1$ （或者说向左移动）。那么“任意时刻，向上走的次数都不超过向下走的次数”就可以转换成“对于操作任意时刻，-1的个数不大于1的个数”，也即“对于任意时刻，路径不越过数轴原点”的方案个数

这乍一看感觉不是很好统计。那我们不妨统计所有可能序列和所有不合法的序列，然后相减得出答案

统计所有可能序列非常简单，一共有 $2n$ 个空，选择其中 $n$ 个填上 $1$，剩下只能填 $-1$，结果显然为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2n})$

那么怎么统计不合法操作呢？接下来就是计算卡特兰数及相关问题最重点的部分：

我们考虑将路径到达点 $-1$ 后的操作全部取反：比如原来操作为: $$+1,-1,-1,+1,+1,-1$$
取反后就是

$$+1,-1,-1（\mathrm{此}\mathrm{时}\mathrm{路}\mathrm{径}\mathrm{到}\mathrm{达}-1）-1,-1,+1$$

我们将此操作在数轴上的路径称作取反路径（我自己瞎编的名字）
不难发现以下性质：

取反路径终点落在 $-1$

由于我们在 $-1$ 点将所有操作取反，假设此时向右走了 $i$ 步，剩下 $n-i$ 步能走，向左走了 $i+1$ 步，剩下 $n-i-1$ 步能走。
也就是说，取反后，我们会继续向右走 $n-i-1$ 步，总共向右走了 $n-1$ 步，同理向左走了 $n+1$ 步。最终落点即为 $-1$

取反路径与原非法路径一一对应

每一个非法路径都必然会经过 $-1$，也就必然会诞生对应的取反路径。而对于每一个取反路径，我们将他第一次碰到 $-1$ 的时候取反，也会反推出唯一的原路径

所以综上所述，

$$\mathrm{非}\mathrm{法}\mathrm{路}\mathrm{径}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}=\mathrm{取}\mathrm{反}\mathrm{路}\mathrm{径}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}=\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{走}n+1\mathrm{向}\mathrm{左}\mathrm{走}n-1\mathrm{步}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2n})$$

综上所述：原问题答案为：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2n})$$

这也是卡特兰数的公式

应用

对于这种对于操作a和操作b各有n次，要求满足任意时刻操作b的次数不能超过操作a，，求方案数的题目，都可以直接套卡特兰数的公式$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2n})$。非常的简单

比如：我没有零钱，现在有n个拿50元的顾客和拿100元的顾客，每一个拿100元的顾客都需要找零50，求排队方案数。很显然，就是说任意时刻拿100元的顾客数量都不超过拿50元的，答案直接就是$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2n})$

拓展

非常显然，并不是所有（事实上是几乎没有）题目会完全就是最基础的卡特兰数，大都会写一些奇奇怪怪（非常恶心）的题面。

先考虑最基础的拓展：有n个操作a和m个操作b，要求在任一时刻操作a与操作b数量之差不低于m。

我们还是按照原来的思路，把a当做 $+1$，b当做 $-1$ 所有可能方案数为$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n+m})$

而计算所有非法方案数：、当每个方案到达数轴 $-k$ 处时取反所有操作。假设此时向右走了 $i$ 步，向右剩下 $n-i$ 步能走，向左剩下 $m-i-k$ 步能走。
此时我们会继续向右走 $m-i-k$ 步，总共向右走了 $i+(m-i-k)=m-k$ 步，同理向左走了 $(n-i)+(i+k)=n+k$ 步。最终落点即为 $m-k-(n+k)=m-n-2k$

所以非法序列答案即为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-k}{n+m})$

最终答案即为：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n+m})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-k}{n+m})$$

个人感觉这是做题时最常用的式子，剩下的都是在这个基础上根据题目各种推式子

（本来计划加一些题目什么的，但貌似没有时间了，就先到这里吧）