小学二年级都能看懂的 乘法逆元学习笔记

介绍

在做题的时候，经常会遇见让我们将答案取模的情况。如果计算过程只涉及加减乘还好说，边算边取模即可。但是计算时经常不可避免的会出现除法，而 $(amodp)/(bmodp)$ 与 $(a/b)modp$ 并不相等，这是无法接受的。所以我们需要找到一个办法，将除法转换为乘法。

也就是说，我们需要找到一个数 $x$ ，使得 $a/b\equiv a\cdot x(modp)$ （或者说让 $x$ 在模 $p$ 意义下相当于 $\frac{1}{b}$），而此时 $x$ 就是被 $b$ 在模 $p$ 意义下的逆元。

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原理

要求出 $x$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (a/b)modp& =a\cdot xmodp\end{array}$$

我们不妨令 $(a/b)modp=m$ ——————①

$a\ast xmodp=m$ ————————②

①式两边乘上 $b$ ，即可得到 $amodp=m\cdot bmodp$ ——————③

将③带入②即可得到：

$(b\cdot m\cdot x)modp=m$

由于 $m$ 是对 $p$ 进行模运算得到的，必然小于 $p$ ，所以原式可以改写为

$((b\cdot x)modp)m=m$

即

$bxmodp=1$

也就是说，当 $x$ 满足 $bxmodp=1$ 时，$x$ 为 $b$ 在模 $p$ 意义下的逆元。这也是乘法逆元的定义。

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求解

那么，知道逆元的定义后，怎么求解逆元呢？

扩展欧几里得算法

由于 $bxmodp=1$

即 $bx=\lfloor \frac{bx}{q}\rfloor \cdot q+1$

即 $bx-\lfloor \frac{bx}{q}\rfloor \cdot q=1$

我们令 $y=\lfloor \frac{bx}{q}\rfloor$

原式就被我们化成了一个不定方程 $bx+qy=1$

就可以通过扩展欧几里得算法求出 $x,y$ 了

扩展欧几里得算法

代码如下

#define ll long long
const ll p=1e9+7
void exgcd(ll a,int b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=x*(a/b);
	}
}
ll ny(ll a){
	ll x,y;
	exgcd(a,p,x,y);
	return (x+p)%p;
}

不过由于 $bx+qy=1$ 当且仅当 $gcd(b,q)|1$ ,即 $b,q$ 互质时有解

所以当 $b,q$ 不互质时，是不存在 $b$ 的逆元的

所以一般题目取模的时候都会模一个质数

不过如果碰上二般的题目还要求除法的时候，那就只能各显神通了

费马小定理

根据费马小定理：如果p是一个质数，而整数 $a$ 不是 $p$ 的倍数，则有 $a^{p-1}\equiv 1(modp)$

非常显然，当 $x=a^{p-2}$ 时，$x$ 即为 $a$ 的逆元，可以使用快速幂求解

代码如下：

#define ll long long
const ll p=1e9+7
ll power(ll a, ll n)//快速幂
{  
    ll  res=1;
    for(;n>0;n>>=1){
        if(n&1) res*=a;
        a*=a,a%=p,res%=p;
    }
    return ans;
}
 
ll ny(ll a)
{
    return pow(a, p - 2);
}

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应用

不就在开头吗