小学二年级都能看懂的扩展欧几里得学习笔记

一些闲扯

上次学扩展欧几里得是两年前，结果中考复习期间不动电脑，直接忘得一干二净
然后两个月前又看了一遍，今天要用的时候发现还是不熟练（看了个寂寞属于是）
别人化身狂暴切题组长的时候我在复习
而且网上的一大堆博客看得我晕晕乎乎费老大劲才彻底搞明白，这时其他人已经a了三四道了orz
于是下定决心开了个blog，直接自己写一个小学二年级都能看懂的学习笔记，这样我再忘掉知识点的时候就直接看这篇就能秒懂了罢（希望）
这是本人第一篇blog，不知写得怎么样（虽然写得差我也改不了）

前置算法——欧几里得（辗转相除）

计算a与b的最大公约数$gcd(a,b)$

令 $r=amodb,k=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ,d=gcd(a,b)$

即 $r=a-kb$

又 $d|a,d|b$

所以 $d|r$

同理，令 $gcd(b,amodb)=d^{\prime },d^{\prime }|r,d^{\prime }|b$

所以 $d^{\prime }|kb+r,d^{\prime }|a$

故 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$

递归下去，直到 $a^{\prime }=d,b^{\prime }=0$

此时 $gcd(a,b)=gcd(a^{\prime },b^{\prime })=d$

代码如下，非常简单：

void gcd(ll a,int b){
	if(!b){
		return a;
	}
	return gcd(b,a%b);
}

拓展欧几里得

介绍

总之就是求解不定方程 $ax+by=c$

直接讲方法

原理

首先考虑证明对于 $ax+by=c$ ，方程有整数解的充要条件为 $gcd(a,b)|c$

首先证明必要性，这非常简单。

因为 $x,y$ 均为整数

所以 $gcd(a,b)|ax+by$

所以 $gcd(a,b)|c$

接下来证明充分性，而这就涉及到裴蜀定理

裴蜀定理

裴蜀定理内容如下：设 $a,b$ 是不全为零的整数，则存在整数 $x,y$ , 使得 $ax+by=gcd(a,b)$ .

说人话就是当 $ax+by=gcd(a,b)$ 时必然有解，当 $gcd(a,b)|c$ 的时候自然也有解
（直接解出来 $ax+by=gcd(a,b)$ 再乘上 $\frac{c}{gcd(a,b)}$ 就好了）

证明如下：

设 $s$ 为 $ax+by$ 的最小正值， $q=\lfloor \frac{a}{s}\rfloor ，r=amods$

显然 $0\le r<s$，$r=a-s\ast q=a-(ax+by)\ast q=a(1-qx)+b(-qy)$

可见 $r$ 也为 $a,b$ 的线性组合

又因为 $s$ 为$ax+by$ 的最小正值且 $0\le r<s$

也就是说，在 $(0,s)$ 范围内不可能存在 $r$ 满足 $ax+by=r$

所以 $r$ 只能等于 $0$，即 $amods=0$

所以 $s|a$ ，同理 $s|b$

令 $d=gcd(a,b)$

由于 $s$ 为 $ax+by$ 最小正值，所以 $s\le d$

由于 $ax+by=c$ 有解的必要条件为 $gcd(a,b)|c$

所以 $d|s$ ，即 $d\le s$

所以 $s=d=gcd(a,b)$

证毕

解方程

在证明了上面的结论后，我们就可以尝试解决 $ax+by=c$ 了

首先由于只有 $gcd(a,b)|c$ 时方程有解，不妨先解出方程 $ax+by=gcd(a,b)$ ，再将解乘上 $\frac{c}{gcd(a,b)}$ 即可

对于

$$\begin{array}{rl}ax+by& =gcd(a,b)\\ & =gcd(b,amodb)\\ & \Rightarrow b{x}_1+(amodb)y_1\\ & =b{x}_1+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot b)y_1\\ & =a{y}_1+b(x_1+\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1)\end{array}$$

上面一部分或许有点绕。简而言之，我们列出了两个方程：

$ax+by=gcd(a,b)$ 与 $b{x}_1+(amodb)y_1=gcd(b,amodb)$

根据 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$

可得 $ax+by=b{x}_1+(amodb)y_1$

然后将右边表示成 $a{y}_1+b(x_1+\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1)$ 的形式

由于 $ax+by=a{y}_1+b(x_1+\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1)$

不难发现，如果知道 $x_1,y_1$ ，则原方程必有一组满足条件的解 $x=y_1,y=x_1+\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1$

而为了解出 $x_1,y_1$ ，我们可以仿照欧几里得求最大公因数的过程，递归下去，解出 $(amodb)x_2+(bmod(amodb))y_2=gcd(a,b)$ 中的 $x_2,y_2$

以此类推解出 $x_3,y_3,x_4,y_4\dots \dots$

我们假设我们得到这么一个方程 $a^{\prime }{x}_n+b^{\prime }{y}_n=gcd(a,b)$

根据前面欧几里得算法可得知，当 $b^{\prime }=0$ 时， $a^{\prime }=gcd(a,b)$

此时原方程可表示为 $gcd(a,b)\cdot x_n+0y_n=gcd(a,b)$

显然此方程有一组解 $x_n=1,y_n=0$

将其递归回去，即可解出 $x,y$

代码也是非常简单

void exgcd(ll a,int b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
	}
	else{ 
		exgcd(b,a%b,y,x);//此时 x=y1，即为方程的解，y=x1
		y-=x*(a/b); //此时 y=y-x*(a/b)=x1-y1*(a/b) 为方程的解
	}
}