动态规划-(背包问题）
1.01背包问题
具体例子：有n个重量和价值分别为wi,vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。例如：
- n = 4
- (w,v) =
- W = 5
DP思想：求出状态转移方程，也就是求出递推式。首先将问题一般化：解决此问题需要2个一维数组，和1个二维数组：
方法1：
w[i]：表示第i个物品的重量,下标从0开始。
v[j]：表示第j个物品的价值
dp[i][j]：从第i个物品开始挑选总重小于j时，总价值的最大值
dp[i+1][j-w[i]]：从第i+1个物品开始挑选总重小于j-w[i]时，总价值的最大值。
于是显而易见有：
- dp[n][j] = 0，因为第n号物品不存在，只有n-1号物品
- 当j<w[i]（即当前背包容量不能挑选这个物品）,状态转移到“从第i+1个物品开始挑选总重不超过j",则有
dp[i][j] = dp[i+1][j]。 - 当j>=w[i]时，背包可以选这个也可以暂时不选这个。那么此时的状态就转移方程就为：
dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i])。
源码如下：
//此时选择0,1,3号物品为解：7。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[4] = {2,1,3,2},v[4] = {3,2,4,2};
int n = 4,W = 5;
int dp[5][5]; //dp数组
void solve(){
for(int i = n-1;i >= 0;i--){
for(int j = 0;j <= W;j++){
if(j < w[i])
dp[i][j] = dp[i+1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
int main(void){
solve();
printf("%d\n",dp[0][W]);
return 0;
}
总结：该方法中需要理解的地方是关于i的循环必须是逆向进行的，因为已知dp[n][j] = 0（全局数组初始化为0)，dp的值需要以此为基础进行递推。故要从i = n-1开始循环。
方法2：
令：
dp[i][j]: 从前i个物品中选出总重量不超过j的物品时的总价值的最大值。
dp[0][j]: 从前0个物品中选出总重量不超过j的最大值，显然 = 0.
那么现在的首要目的就是要求出dp[i+1][j]的递推表达式,而求dp[i+1][j]又可以分解为:
- 从前i个物品中选出总重量不超过j
- 和前i个物品中选出总重量不超过
j-w[i]
在这两种情况中取最大值。
综上述可得：
- dp[0][j] = 0,dp[i][0] = 0;
- dp[i+1][j] = dp[i][j] (j < w[i])
- dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-w[i]]+v[i])
源码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[4] = {2,1,3,2},v[4] = {3,2,4,2};
int n = 4,W = 5;
int dp[5][5]; //dp数组
void solve(){
for(int i = 0;i < n;i++){
for(int j = 0;j <= W;j++){
if(j < w[i])
dp[i+1][j] = dp[i][j];
else
dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
int main(void){
solve();
printf("%d\n",dp[n][W]);
return 0;
}
总结：相比于方法1，方法2应该更容易理解，这里改变了i的循环方向,。
