boruvka 嘴巴杂记

boruvka 嘴巴杂记

如果 NOIP2024 考完后还有心思的话可能会写个最小生成树全家桶。

嘴巴概要

每次应对的局面都是若干个连通块，我们处理出每个连通块向外连出的最小边。然后每个连通块通过其最小边连出去合并。局面再次来到若干个连通块，重复操作至连通块数量为一。

嘴巴复杂度

一次局面后最坏情况下连通块个数至少减半，这里是 \(O(\log)\) 的。每一次局面对于每个点（注意不是连通块）都要找到一个不连通点其中边权最小，即对于每个连通块找最小连出边。假设一次找点是 \(O(1)\) 的，那么 \(n\) 次就是 \(O(n)\) 的。所以总时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

前提是找最小连出边的时间复杂度是 \(O(1)\) 的，不然时间复杂度就不能保证 \(O(n\log n)\)。

嘴巴总结

所以 boruvka 的应用主要是一些性质最小生成树题。这类题通常需要你抽象出最小生成树的模型，而通常这类题的边数极多。所以会卡 \(O((n+m)\log m)\) 的 Prim 和 \(O(m\log m)\) 的 Kruskal。

因此这种特殊性质最小生成树题也一般被称为菠萝题🍍。

嘴巴应用

题意：\(n\) 个数 \(a_1,\dots,a_n\)，满足 \(i<j\) 则可以连一条权值为 \(a_j-a_i\) 的边，求最小生成树。（\(n\leq 3\times 10^5\)）

主要讲讲怎么 \(O(1)\) 得每个连通块的最小连出边。

我们在 \(O(n)\) 求每个点所属连通块的最小连出边时，同时维护一个最大值和次大值，这两个值不属于同一个连通块。每次更新最小连出边，如果最大值的所属连通块与当前点不同，就是 \(col_x=\min\{a_i-\text{mx}_1\}\) 否则用次大值转移。

当然还要跑一次维护最小值和次小值的，因为上面是为了减数大，这里是为了被减数小，操作同理，不讲了。

因此这道题可以 \(O(1)\) 得到每个连通块的最小连出边。又因为数据范围卡 Prim 和 Kruskal，所以这道题菠萝题实锤。