ABC366F 题解
Solution
题意简述
现在有 \(N\) 个线性函数 \(f_1,\dots,f_N\)。函数 \(f_i(x)=A_ix+B_i\)。
找到一个长度为 \(K\) 的序列 \(p=(p_1,\dots,p_k)\)，序列元素为 \(K\) 个大小在 \([1,N]\) 的不同整数。
输出 \(f_{p_1}(f_{p_2}(\dots f_{p_k}(1)\dots))\) 可能的最大值。
思路
贪心+DP。
假设现在已经选出了序列 \(p\)，考虑怎么放（放外层还是内层）答案更优。
钦定 \(i<j\)，则有两种放法：\(f_i(f_j(x))\) 和 \(f_j(f_i(x))\)。
把 \(A\)，\(B\) 代入：\(A_iA_jx+A_iB_j+B_i\) 和 \(A_iA_jx+A_jB_i+B_j\)。发现其实只有后两项不同，我们钦定排序后越前面的放在越里层，所以我们可以定下排序规则为：
\[A_iB_j+B_i<A_jB_i+B_j
\]
移项一下：
\[\frac{A_i-1}{B_i}<\frac{A_j-1}{B_j}
\]
现在取序列 \(p\) 是直接取后 \(k\) 个就可以了吗？
不对。因为以上排序规则只是解决了怎么放的问题，都是在已经选好了 \(p\) 的前提假设下。那怎么取呢？考虑 DP 即可。
经典二维 DP：\(f_{i,j}\) 表示当前第 \(i\) 个，已选 \(j\) 个的最大可能答案。转移就是选与不选，由于我们的排序规则是想越前面的放里层，所以直接从前往后转移就好了，不用倒着转移。
