ABC366E 题解

Solution

题意简述

二维平面上有 $N$ 个点 $(x_1,y_1),\dots,(x_N,y_N)$ 和一个非负整数 $D$。

求有多少对点对 $(x,y)$ 满足 $\sum\limits_{i=1}^N (|x-x_i|+|y-y_i|)\le D$。

思路

发现 $x_i$ 与 $y_i$ 的捆绑关系不强（其实是几乎没有关联），所以我们分开考虑，也就是先考虑 $\sum\limits_{i=1}^n|x-x_i|$，得到结论后另外一边也是一样的。

见到绝对值先拆绝对值，我们可以先对 $x_i$ 排个序，就可以通过枚举知道 $x$ 的相对位置，结合前缀和，可以 $O(1)$ 得到上面这个和式的值。设这个值为 $A_x$，我们可以直接枚举 $x\in [-10^6,10^6]$，然后 $O(M)$ 得到 $A_x$。另外一边照葫芦画瓢，也可以快速得知 $B_y$ 的值。

现在考虑计数。首先可以枚举值域内的每个 $x$，枚举中的子任务为求有多少个 $y$ 满足 $B_y\leq D-A_x$。这是很简单的，对所有 $B_y$ 排个序，二分答案即可。

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