[ARC145E] Adjacent XOR 题解
[ARC145E] Adjacent XOR 题解
这道题真的是道神仙题，是那种考场想不出来、补题也补得十分艰难的题。可能我还是太菜了。
看了 APJ 大神的题解，琢磨很久才懂。为了帮助像我一样的同学，特地写一篇题解。
这是 2 月的第一篇题解、更是我的第一道黑题题解，谨纪念。
参考文献
题意
给你 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，再给你 \(n\) 个整数 \(b_1,b_2,\dots,b_n\)。通过执行以下操作，问你能不能操作 \(70000\) 次以内使得 \(a\) 与 \(b\) 相同。
- 操作：选择整数 \(k\in[1,n]\)，进行 \(a_i\leftarrow a_{i-1}\oplus a_i\)，\(i\in[2,k]\) 的赋值操作。
数据范围：\(2\le n\le 1000\)，\(0\le a_i,b_i \lt 2^{60}\)。
Solution
转化目标
题意清晰，就是告诉你要构造方案。
由于每一次操作都是 \(a_i\leftarrow a_{i-1}\oplus a_i\)，这个及其难下手。不妨反过来，从 \(b\) 入手。
在此之前，先琢磨透这个在 \(a\) 上做手脚的操作，到底是个啥？
其实一次操作，钦定 \(k\) 以后，就是去把每一个在 \([2,k]\) 的 \(a_i\) 都赋值为原 \(a\) 数组下标从 \(1\sim i-1\) 的异或和。
而我们对 \(a_i\) 做手脚，是因为我们期望得到 \(b_i\)。这个对 \(a\) 数组的操作，每次都依靠前缀。
形式化地，这样：
现在考虑从 \(b\) 入手，从而推出 \(a\)。那么题意变为：
选择 \(k\in[1,n]\)，进行 \(b_i=\oplus_{j=1}^i b_j\)，\(i\in[1,k]\) 的赋值操作。
为什么这样得到的 \(b_i\) 会等于 \(a_i\) 呢？展开一下就明白了：
如果一项一项带入，就会发现 \(b'_i=b_{i-1}\oplus b_i\)。又把 \(b_i\) 用 \(a_i\) 表示，可以得到 \(b'_i=(a_1\oplus\dots\oplus a_{i-1})\oplus (a_1\oplus \dots \oplus a_i)=a_i\)。
至此，题意与解题目标发生了转化、也更加清晰。
能否构造
观察一手数据范围，可以跑 \(n\log b\)。考虑对于每个 \(i\)，就用 \(O(\log b)\) 构造出一个 \(a_i\)。这里为了防止前缀和影响已更新好的数，我们选择倒着构造。
先判断能否构造，不难想到，可以构造的充要条件是：每一个 \(a_i\) 都可以由 \(b_{[1,i-1]}\) 中的若干数与 \(b_i\) 异或得到。
构造开始
这个 \(b\) 数组，不是个善茬，想不到怎么很好处理。思考一下 \(b\) 数组需要做的操作，都是它的线性基可以处理的（其实看到异或问题，多多少少要想到一点线性基）。
我们把基底按先后加入顺序标号，来表示 \(b\) 的每一个数。此刻来考虑这个新数组 \(c\)。
我们想从 \(a_n\sim a_1\) 进行构造，如果我们此时构造 \(a_i\)，那么我们不能动 \(a_k\)，\(k\in[i+1,n]\)；否则就打乱了。
所以，当我们改变到第 \(i\) 位的时候，只能对 \(k=i\) 进行操作：\(b_i\leftarrow \oplus_{j=1}^ib_j\)。实际上，就是构造异或和等于 \(a_i\)。
我们按加入的先后顺序标号，所以当第 \(i\) 位最早在 \(pos_i\) 出现时，在 \([1,pos_i-1]\) 中 \(i\) 这一位都为零。这个很显然。
那得知这个有什么用呢？我们可以通过这个将前缀异或和进行某一位的翻转。既然 \(pos_i\) 是第一次出现 \(i\)，那如果我对 \(k=pos_i+1\) 进行操作，只有 \(b_{pos_i+1}\) 的异或和多了 \(i\) 这一位，总异或和这一位也就可以翻转了。
也是从大到小考虑，\(pos_i\) 递减，不会影响之前的数。
构造总结
那现在构造方法就很明了了：
- 从大到小枚举 \(i\)，计算当前异或和。
- 当异或和与 \(a_i\) （重标号后的）某一位不一样，就对那一位进行翻转操作。
- 最后对 \(k=m\) 进行操作，即可得出 \(a_m\)。
- 重复 \(n\) 遍，最后把操作序列翻转，就是从 \(a\) 到 \(b\) 的操作了。
代码
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN = 1e3 + 5;
int n;
int a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN];
int pos[64];
vector<int> ans;
struct XXJ {
int d[64]; // 基底
int id[64], tot;
void Clear() {
memset(d, 0, sizeof(d));
memset(id, 0, sizeof(id));
tot = 0;
}
bool Count(int x) {
for (int i = 59; ~i; i--)
if (x >> i & 1) {
if (d[i] == 0)
return 0;
x ^= d[i];
}
return 1;
}
int Insert(int x) {
int res = 0;
for (int i = 60; ~i; i--)
if (x >> i & 1) {
if (d[i] == 0) {
d[i] = x;
id[i] = tot++;
return res | (1ll << id[i]);
}
res |= (1ll << id[i]);
x ^= d[i];
}
return res;
}
} X;
void work(int x) {
ans.push_back(x);
for (int i = 1; i <= x; i++) {
b[i] ^= b[i - 1];
c[i] ^= c[i - 1];
}
}
signed main() {
scanf("%lld", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &b[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (X.Count(a[i] ^ b[i]) == 0)
return puts("No"), 0;
X.Insert(b[i]);
}
for (int i = n; i; i--) {
X.Clear();
for (int j = 1; j <= i; j++) {
bool flg = X.Count(b[j]);
c[j] = X.Insert(b[j]);
if (flg == 0)
pos[__lg(c[j])] = j;
}
int tmp = X.Insert(a[i]);
for (int j = X.tot; ~j; j--) {
int sum = 0;
for (int k = 1; k <= i; k++) sum ^= c[k];
if ((sum >> j & 1) != (tmp >> j & 1))
work(pos[j] + 1);
}
work(i);
}
reverse(ans.begin(), ans.end());
printf("Yes\n%lld\n", (int)ans.size());
for (int i : ans) printf("%lld ", i);
return 0;
}
