浅谈差分约束系统
差分约束系统
前言
真的好久好久都没打过这个算法了。当时学的时候学得不明不白，又不写总结、又不刷题（我都不知道自己咋想的），所以今天刷图论题的时候，发现一车子的差分约束都没打过。
所以，重学，开写！
差分约束系统是什么
不要被他名字的学术性吓到了，这个“系统”字面意思理解就行，不是什么高深庞大的东西。
一个差分约束系统形如：
已知
求这个不等式组任意的一组解。
其实说白了，就是 \(n\) 个变量，\(m\) 个约束条件（\(x_i-x_j\leq y_k\)）。
怎么解决这个系统
怎么解这个不等式？
首先移项一手：
你看，是不是和图论中的 \(dis_v\leq dis_u+w_i\) 很像啊？
所以这个问题可以转换成一个最短路问题——把 \(j\) 向 \(i\) 连一条权值为 \(y_k\) 的边。
可是这个图并不一定连通，所以我们建一个超级源点 \(0\)。带入到系统中，便是增加了 \(n\) 个约束条件：\(x_i\leq x_0\)。如此，整个系统得到完善。
然后就家常便饭，直接最短路。如果存在负环，不等式组无解；否则可以得到每个点的 \(dis_i\)。而不等式的一组可行解，正是 \(x_i=dis_i\)。
负环怎么判
这里稍微讲一手。
首先为什么出现负环就无解？
因为最短路算法，就是不断走边权最小的边，以更新每个点到源点的最短距离。但如果存在一个环，且总权为负，那么就可以一直走、一直走，直至边权 \(=-\infin\)。
现在，原图共 \(n+1\) 个点，如果不存在负环，那么最短路中每个点肯定只会进队一次。因为没有必要经过两次去松弛它的邻接点。
所以如果 \(n\) 轮松弛结束后仍然存在可松弛的边，那就一定存在负环。
在题目中如何用差分约束算法
如果在模版题，就不多说了。
我们对于题目中的关系，可以得到一些不等条件，再化简成一般形式 \(x_i\leq x_j+y_k\)，就可以建立这样一个差分约束系统。
如果是相等情况怎么办？
简单，直接拆分成 \(x_i\leq x_j+y_k\) 与 \(x_j\leq x_i+y_k\) 这两条约束条件。
P5960【模板】差分约束
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=1e4+5;
int n,m;
int dis[MAXN],cnt[MAXN];
bool vis[MAXN];
int su,en[MAXN],lt[MAXN],hd[MAXN],vl[MAXN];
void add(int u,int v,int w)
{
en[++su]=v,vl[su]=w,lt[su]=hd[u],hd[u]=su;
}
bool SPFA(int s)
{
queue<int> q;
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
vis[s]=1,dis[s]=0;
q.push(s);
while (!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=hd[u];i;i=lt[i])
{
int v=en[i];
if(dis[v]>dis[u]+vl[i])
{
dis[v]=dis[u]+vl[i];
if(!vis[v])
{
vis[v]=1,cnt[v]++;
if(cnt[v]>n) return 0;
q.push(v);
}
}
}
vis[u]=0;
}
return 1;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
add(0,i,0); // 超级源点
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
add(v,u,w); // 注意这里是 v --w-> u
}
if(!SPFA(0))
puts("NO");
else
{
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld ",dis[i]);
}
return 0;
}
参考文献
结尾
如果想看图论相关文章，刚好我 2 年前写了一篇。虽然年代久远，格式、文笔也很垃坤，但是得看且看吧。
溜去做题了。
如果你想问为什么有些题目用的差分约束是跑最长路，这个我还不能回答你（我也不知道），但是可以先放张图，等我学会后再回来更（当然也可能忘记了，如果你正在看，可以在评论区踢我）。
图：
（看起来是两种不同的方式罢了……）
