[ARC124C] LCM of GCDs 题解

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Fake_Solution

前言

[warning]: 本题解的做法是错法，但是正确概率贼高。离谱的是正确率还可以叠加。

正解是记搜，时间复杂度可以证明。正解看文末。

思考

众所周知一个公式：

\[a\times b=\operatorname{lcm}(a,b)\times \gcd(a,b) \]

如果你不知道——自证吧，不难。

于是，移一下项可得

\[\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{ab}{\gcd(a,b)} \]

那本题就是求这个玩意儿（设 \(g(a,b)=\gcd(a,b)\)， \(g(X)=g(x_1,\dots,x_n)\)）

\[\frac{g(X)\times g(Y)}{g(g(X),g(Y))} \]

关键是，我们怎么求得这个分数呢？

观察一手分母，实际上就是

\[g(g(x_1,\dots,x_m),g(x_1,\dots,x_m))\\\Downarrow\\g(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_m)\\\Downarrow\\g(a_1,\dots,a_n) \]

也就是说无论怎么放置卡片，分母是始终不变的。都可以根据给出的值求得。

分子怎么办呢？

由于是 \(g(X)\times g(Y)\)，我们可以试着贪心去取较大值。然后一路 \(O(n)\) 下去就好了。

但是会有问题（极小概率），给个 hack。

3
7175 27378
9184 26427
29992 7190

但是，数据出现这种卡贪心的情况概率极低。Atcoder 的 70 组数据也就一组。

为了提高正确率，我们可以倒着再跑一次。

是的，你没听错，就是贪心 + 乱搞。

代码

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int MAXN = 50 + 5;

int n;
int a[MAXN], b[MAXN];

int solve() {
    int x = a[1], y = b[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int nx = __gcd(x, a[i]);
        int ny = __gcd(y, b[i]);
        int mx = __gcd(x, b[i]);
        int my = __gcd(y, a[i]);
        if (nx * ny > mx * my)
            x = nx, y = ny;
        else
            x = mx, y = my;
    }
    return x * y / gcd(x, y);
}

signed main() {
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", &a[i], &b[i]);
    int ans1 = solve();
    for (int i = 1, j = n; i <= j; i++, j--) swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
    int ans2 = solve();
    printf("%lld\n", max(ans1, ans2));
    return 0;
}

Solution

还是补一个正解做法。其实直接记忆化爆搜就好了，时间复杂度可以证明通过本题限制（虽然我不会）。

代码

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int MAXN = 50 + 5;

int n;
int a[MAXN], b[MAXN];
struct node {
    int x, ga, gb;
    node(int a = 0, int b = 0, int c = 0) {
        x = a;
        ga = b;
        gb = c;
    }
    bool operator<(const node &T) const {
        if (x != T.x)
            return x < T.x;
        if (ga != T.ga)
            return ga < T.ga;
        return gb < T.gb;
    }
};
int ans;
map<node, bool> vis;

int lcm(int a, int b) { return a * b / __gcd(a, b); }

void dfs(int x, int ga, int gb) {
    if (vis[node(x, ga, gb)])
        return;
    vis[node(x, ga, gb)] = 1;
    if (x == n + 1) {
        ans = max(ans, lcm(ga, gb));
        return;
    }
    dfs(x + 1, __gcd(ga, a[x]), __gcd(gb, b[x]));
    dfs(x + 1, __gcd(ga, b[x]), __gcd(gb, a[x]));
}

signed main() {
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", &a[i], &b[i]);
    dfs(2, a[1], b[1]);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}