平衡树详解
平衡树
是一种二叉查找树，其平衡性使得树的深度在\(\log n\)以内，增加、删除等操作可以做到\(O(\log n)\).
平衡树的实现有多种，本文主要介绍\(AVL\)、\(Treap\)、\(FHQ \ Treap\) 与 \(Splay\).
\(AVL\)
介绍
\(AVL\)是这些算法中时间复杂度最优秀的，也是码量最大的.
其原因在于：
\(AVL\)是维护绝对平衡，即左子树高度与右子树高度之差 \(\leq 1\)
所以每一次维护造就了优秀的时间复杂度 与超大的码量 .
平衡维护
可以说，平衡维护是铸造二叉平衡树最关键的一步，也是最难理解的一步.
如何维护？
1.先判断左子树与右子树高度之差.
2.再判断较高的那一棵子树是它的左子树高还是右子树高.
3.最后再进行旋转操作使其平衡.
相信第1步很容易理解，这里不作过多解释.
为什么会有第2步的判断？
因为可能出现不同的情况，我们也需要做出不同的旋转.
如下图，左子树根节点（节点3）的左儿子（节点2）使左子树高度增加为2，而右子树高度为0，所以平衡树不平衡.
再如下图，左子树根节点（节点15）的右儿子（节点18）使左子树高度增加为2，而右子树高度为0，所以平衡树不平衡.
同理，也有右子树高度高于左子树的情况.
明显可见，当多出来的那个节点与它的父亲、父亲的父亲（祖父）成一条线时，只需要通过一次旋转.
当不成一条线时，需要通过两次旋转.
单旋转分为两种，左旋（zag）与右旋（zig）.
如下图，为左旋.
如下图，为右旋.
双旋转则多为先进行一次方向旋转，使其呈链状后，再进行一次反方向旋转.
如下图，为需要维护的不平衡状态.
又如下图，为进行旋转（左旋A，B）使三点共链的状态.
再如下图，为进行反方向旋转（右旋C，B）使其平衡的状态.
最后保持平衡.
因为其不同方向两次旋转的特性，所以双旋转分为左右旋（zagzig）和右左旋（zigzag）.
代码实现平衡维护
void pushup(ll r)
{
if(!r)
return;
tr[r].hi=max(tr[ls(r)].hi,tr[rs(r)].hi)+1;
tr[r].sz=tr[ls(r)].sz+tr[rs(r)].sz+1;
}
void mountain(ll &r) // 注意引用&
{
ll lf=ls(r),rg=rs(r); // ls(r)为表示r的左儿子的函数，rs(r)反之
if(tr[lf].hi==tr[rg].hi+2)
{
if(tr[ls(lf)].hi==tr[rg].hi+1)
rote(r,1); // 单旋转，1表示zig，0反之
else if(tr[rs(lf)].hi==tr[rg].hi+1)
rote2(r,0); // 双旋转，0表示zagzig，1反之
}
else if(tr[rg].hi==tr[lf].hi+2)
{
if(tr[rs(rg)].hi==tr[lf].hi+1)
rote(r,0);
else if(tr[ls(rg)].hi==tr[lf].hi+1)
rote2(r,1);
}
pushup(r);
}
代码实现旋转操作
void pushup(ll r)
{
if(!r)
return;
tr[r].hi=max(tr[ls(r)].hi,tr[rs(r)].hi)+1;
tr[r].sz=tr[ls(r)].sz+tr[rs(r)].sz+1;
}
void rote(ll &r,ll op)
{
ll t=tr[r].ch[!op];
tr[r].ch[!op]=tr[t].ch[op];
tr[t].ch[op]=r;
pushup(r),pushup(t);
r=t;
}
void rote2(ll &r,ll op)
{
rote(tr[r].ch[op],op);
rote(r,!op);
}
小飞版来咯~
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ls(r) tr[r].ch[0]
#define rs(r) tr[r].ch[1]
const ll MAXN=5e5+5,INF=0x3f3f3f3f;
struct AVL
{
ll ch[2],sz,val,hi,cnt;
}tr[MAXN];
ll rt,pcnt;
void pushup(ll r)
{
if(!r)
return;
tr[r].hi=max(tr[ls(r)].hi,tr[rs(r)].hi)+1;
tr[r].sz=tr[ls(r)].sz+tr[rs(r)].sz+1;
}
void rote(ll &r,ll op)
{
ll t=tr[r].ch[!op];
tr[r].ch[!op]=tr[t].ch[op];
tr[t].ch[op]=r;
pushup(r),pushup(t);
r=t;
}
void rote2(ll &r,ll op)
{
rote(tr[r].ch[op],op);
rote(r,!op);
}
void mountain(ll &r)
{
ll lf=ls(r),rg=rs(r);
if(tr[lf].hi==tr[rg].hi+2)
{
if(tr[ls(lf)].hi==tr[rg].hi+1)
rote(r,1);
else if(tr[rs(lf)].hi==tr[rg].hi+1)
rote2(r,0);
}
else if(tr[rg].hi==tr[lf].hi+2)
{
if(tr[rs(rg)].hi==tr[lf].hi+1)
rote(r,0);
else if(tr[ls(rg)].hi==tr[lf].hi+1)
rote2(r,1);
}
pushup(r);
}
void ins(ll &r,ll x)
{
if(!r)
{
tr[++pcnt].val=x,r=pcnt;
pushup(r);
return;
}
if(x<tr[r].val)
ins(ls(r),x);
else
ins(rs(r),x);
mountain(r);
}
ll del(ll &r,ll x)
{
ll tmp;
if(tr[r].val==x||x<tr[r].val&&!ls(r)||x>tr[r].val&&!rs(r))
{
tmp=tr[r].val;
if(!ls(r)||!rs(r))
{
r=ls(r)+rs(r);
return tmp;
}
tr[r].val=del(ls(r),x);
}
else
{
if(x<tr[r].val)
tmp=del(ls(r),x);
else
tmp=del(rs(r),x);
}
mountain(r);
return tmp;
}
ll grank(ll r,ll x)
{
if(!r)
return 1;
if(x<=tr[r].val)
return grank(ls(r),x);
return tr[ls(r)].sz+1+grank(rs(r),x);
}
ll xth(ll r,ll x)
{
if(tr[ls(r)].sz>=x)
return xth(ls(r),x);
if(tr[ls(r)].sz+1>=x)
return tr[r].val;
return xth(rs(r),x-tr[ls(r)].sz-1);
}
ll pre(ll r,ll x)
{
if(!r)
return -INF;
if(tr[r].val>=x)
return pre(ls(r),x);
return max(tr[r].val,pre(rs(r),x));
}
ll nxt(ll r,ll x)
{
if(!r)
return INF;
if(tr[r].val<=x)
return nxt(rs(r),x);
return min(tr[r].val,nxt(ls(r),x));
}
int main()
{
ll n;
scanf("%lld",&n);
while(n--)
{
ll op,x;
scanf("%lld%lld",&op,&x);
if(op==1)
ins(rt,x);
if(op==2)
del(rt,x);
if(op==3)
printf("%lld\n",grank(rt,x));
if(op==4)
printf("%lld\n",xth(rt,x));
if(op==5)
printf("%lld\n",pre(rt,x));
if(op==6)
printf("%lld\n",nxt(rt,x));
}
}
\(Treap\)
介绍
虽然\(AVL\)敲可爱哒~
但是在考场上真的来得及打吗？
其实只要你练得够多，最快可在10min内打完，一般人也可以练进12min.
明显地，维护平衡操作太长了，可不可以省去？
或许我们用一些随机值赋值给不同节点，使其成为节点的优先级，在构造二叉查找树时使其满足点权有序性与优先级（随机值）有序性.
如果这样，随机生成的数字一般可以使二叉查找树接近平衡.可理解为相对平衡但不是绝对平衡.
当然，除非你考前被奆佬%而rp--， 一般随机值不会刚好使其变成一条链.
在大数据下更具有代表性，即维护平衡树平衡的成功概率与数据大小成正比.
所以，就有了时间复杂度不如\(AVL\)优秀，但是足够的——\(Treap\)！！
\(Treap\)=\(Tree+Heap\).
从名字上可见它满足点权有序性（二叉查找\(tree\)），和优先级（随机值）有序性（大根或小根\(heap\)）.
平衡维护
其实\(Treap\)的维护与\(AVL\)很像，这里就不放图了.
它们之间的区别或许只是维护时的条件不同.
- \(AVL\)是当左右子树高度相差超过1时进行维护
- \(Treap\)是当左右子树优先级小于（或大于，这里不作定性要求，但是同一代码中必须都是小于或大于）根节点优先级时进行维护
还有一点，因为\(Treap\)讲究好写，所以只需要在插入数据的时候维护一下就可以了，删除后不用再次维护.
代码实现插入数据与维护
void pushup(ll r) {
if (!r)
return;
tr[r].sz = tr[ls(r)].sz + tr[rs(r)].sz + 1;
}
void ins(ll &r, ll x) {
if (!r) {
tr[++pcnt].val = x;
tr[pcnt].pri = rand();
r = pcnt;
pushup(r);
return;
}
if (x < tr[r].val) {
ins(ls(r), x);
if (tr[ls(r)].pri > tr[r].pri)
rote(r, 1); // 旋转操作见AVL
} else {
ins(rs(r), x);
if (tr[rs(r)].pri > tr[r].pri)
rote(r, 0);
}
pushup(r);
}
小飞版来咯~
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ls(r) tr[r].ch[0]
#define rs(r) tr[r].ch[1]
const ll MAXN = 5e5 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
struct Treap {
ll ch[2], sz, val, pri;
} tr[MAXN];
ll rt, pcnt;
ll fa[MAXN];
void pushup(ll r) {
if (!r)
return;
tr[r].sz = tr[ls(r)].sz + tr[rs(r)].sz + 1;
}
void rote(ll &r, ll op) {
ll t = tr[r].ch[!op];
tr[r].ch[!op] = tr[t].ch[op];
tr[t].ch[op] = r;
pushup(r), pushup(t);
r = t;
}
void ins(ll &r, ll x) {
if (!r) {
tr[++pcnt].val = x;
tr[pcnt].pri = rand();
r = pcnt;
pushup(r);
return;
}
if (x < tr[r].val) {
ins(ls(r), x);
if (tr[ls(r)].pri > tr[r].pri)
rote(r, 1);
} else {
ins(rs(r), x);
if (tr[rs(r)].pri > tr[r].pri)
rote(r, 0);
}
pushup(r);
}
ll del(ll &r, ll x) {
ll tmp;
// 解释一下，因为平衡树是一种二叉查找树，
// 所以可以把叶子结点与“要删除节点”换一下位置，
// 这样的话二叉查找树的性质不会被改变，
// 也成功地删除了节点（其他版本的平衡树删除维护同理）
if (x == tr[r].val || x < tr[r].val && !ls(r) || x > tr[r].val && !rs(r)) {
tmp = tr[r].val;
if (!ls(r) || !rs(r)) {
r = ls(r) + rs(r);
return tmp;
}
tr[r].val = del(ls(r), x);
} else {
if (x < tr[r].val)
tmp = del(ls(r), x);
else
tmp = del(rs(r), x);
}
pushup(r);
return tmp;
}
ll grank(ll r, ll x) {
if (!r)
return 1;
if (x <= tr[r].val)
return grank(ls(r), x);
return tr[ls(r)].sz + 1 + grank(rs(r), x);
}
ll xth(ll r, ll x) {
if (tr[ls(r)].sz >= x)
return xth(ls(r), x);
if (tr[ls(r)].sz + 1 >= x)
return tr[r].val;
return xth(rs(r), x - 1 - tr[ls(r)].sz);
}
ll pre(ll r, ll x) {
if (!r)
return -INF;
if (tr[r].val >= x)
return pre(ls(r), x);
return max(tr[r].val, pre(rs(r), x));
}
ll nxt(ll r, ll x) {
if (!r)
return INF;
if (tr[r].val <= x)
return nxt(rs(r), x);
return min(tr[r].val, nxt(ls(r), x));
}
int main() {
srand(time(0));
ll n;
scanf("%lld", &n);
while (n--) {
ll op, x;
scanf("%lld%lld", &op, &x);
if (op == 1)
ins(rt, x);
if (op == 2)
del(rt, x);
if (op == 3)
printf("%lld\n", grank(rt, x));
if (op == 4)
printf("%lld\n", xth(rt, x));
if (op == 5)
printf("%lld\n", pre(rt, x));
if (op == 6)
printf("%lld\n", nxt(rt, x));
}
return 0;
}
FHQ Treap
介绍
可以说，旋转操作是占主流算法的大多数.
但是一旦牵扯到可连续性等方面乃至理解方面，旋转操作是不太可取的.
于是范浩强奆佬就发明了不用旋转的\(Treap\)算法——\(FHQ \ Treap\)！！
也称作无旋\(Treap\).
不旋转，怎么维护平衡？
分裂！！
合并！！
分裂操作与合并操作
分裂split
分裂操作split是最难理解的也是最关键的一步.
我们在插入数据和删除数据需要找到一个合适的点.
而找这个点的路径，可以把树分裂成两部分，把小于等于插入值的分裂到左树，大于的就分裂到右树.
就这样，我们可以得到两棵树（也有可能是空树）.
合并merge
合并操作的对象是两棵树，这两棵树一定满足，左边的树权最大值小于右边的树的权值最小值.
我们根据其优先级来合并.
为了描述方面，我们设左边的树为\(L\)，右边的树为\(R\).
首先比较两棵树的树根，谁优先级小，谁就作为新的树根.
假设\(L\)的优先级较小，那么\(L\)的根做新的树根，则问题转换为\(L\)的右子树与\(R\)的合并问题了；否则就是\(R\)的根作为新树的根，问题转换为\(L\)和\(R\)的左子树的合并问题了.
明显地，可以写成递归.
这样递归下去，直到某棵树为空，则递归结束。
代码实现split与merge
void pushup(ll r)
{
if(!r)
return;
tr[r].sz=tr[ls(r)].sz+tr[rs(r)].sz+1;
}
void split(ll r,ll &xrt,ll &yrt,ll v)
{
// r为需要分裂的树的根
// xrt为分裂后将得到左树的树根
// yrt反之
if(!r)
xrt=yrt=0;
else if(v<tr[r].val)
{
yrt=r;
split(ls(r),xrt,ls(r),v);
}
else
{
xrt=r;
split(rs(r),rs(r),yrt,v); // 等于v的节点分到左树里
}
pushup(r);
}
void merge(ll &r,ll xrt,ll yrt)
{
// r为合并后的新根
// xrt为参与合并的左子树的根
// yrt反之
if(!xrt||!yrt)
r=xrt+yrt;
else if(tr[xrt].pri<tr[yrt].pri)
{
r=xrt;
merge(rs(r),rs(r),yrt);
}
else
{
r=yrt;
merge(ls(r),xrt,ls(r));
}
pushup(r);
}
小飞版来咯~
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define rep(c,i,a,b) for(c i=a;i<=b;++i)
#define per(c,i,a,b) for(c i=a;i>=b;--i)
#define ls(r) tr[r].ch[0]
#define rs(r) tr[r].ch[1]
const ll MAXN=5e5+3,INF=0x3f3f3f3f;
struct FHQ_Treap
{
ll ch[2];
ll sz;
ll val;
ll pri;
}tr[MAXN];
ll pcnt,rt,rt1,rt2;
void pushup(ll r)
{
if(!r)
return;
tr[r].sz=tr[ls(r)].sz+tr[rs(r)].sz+1;
}
void split(ll r,ll &xrt,ll &yrt,ll v)
{
if(!r)
xrt=yrt=0;
else if(v<tr[r].val)
{
yrt=r;
split(ls(r),xrt,ls(r),v);
}
else
{
xrt=r;
split(rs(r),rs(r),yrt,v);
}
pushup(r);
}
void merge(ll &r,ll xrt,ll yrt)
{
if(!xrt||!yrt)
r=xrt+yrt;
else if(tr[xrt].pri<tr[yrt].pri)
{
r=xrt;
merge(rs(r),rs(r),yrt);
}
else
{
r=yrt;
merge(ls(r),xrt,ls(r));
}
pushup(r);
}
void ins(ll &r,ll x)
{
split(r,rt1,rt2,x);
tr[++pcnt].val=x,tr[pcnt].pri=rand(),tr[pcnt].sz=1,r=pcnt;
merge(rt1,rt1,pcnt);
merge(r,rt1,rt2);
}
void del(ll &r,ll x)
{
ll rt3;
split(r,rt1,rt2,x);
split(rt1,rt1,rt3,x-1);
merge(rt1,rt1,rt3);
merge(r,rt1,rt2);
}
ll getrank(ll r,ll x) // 数x的排名
{
if(r==0)
return 1;
if(tr[r].val<x)
return tr[ls(r)].sz+1+getrank(rs(r),x);
return getrank(ls(r),x);
}
ll xth(ll r,ll x) // 第x个数
{
if(tr[ls(r)].sz>=x)
return xth(ls(r),x);
if(tr[ls(r)].sz+1>=x)
return tr[r].val;
return xth(rs(r),x-tr[ls(r)].sz-1);
}
ll getpre(ll r,ll x) // x的前驱
{
if(r==0)
return -INF;
if(x<=tr[r].val)
return getpre(ls(r),x);
return max(tr[r].val,getpre(rs(r),x));
}
ll getnxt(ll r,ll x) // x的后继
{
if(r==0)
return INF;
if(x>=tr[r].val)
return getnxt(rs(r),x);
return min(tr[r].val,getnxt(ls(r),x));
}
int main()
{
srand(time(0));
ll n;
scanf("%lld",&n);
while(n--)
{
ll op,x;
scanf("%lld%lld",&op,&x);
if(op==1)
ins(rt,x);
if(op==2)
del(rt,x);
if(op==3)
printf("%lld\n",grank(rt,x));
if(op==4)
printf("%lld\n",xth(rt,x));
if(op==5)
printf("%lld\n",pre(rt,x));
if(op==6)
printf("%lld\n",nxt(rt,x));
}
return 0;
}
\(Splay\)
介绍
\(Splay\)也称为伸展树，它也满足二叉查找树的性质.
即一个节点的左子树的所有点权都会小于当前节点，右子树反之.
它和其他平衡树算法最大不同的是，它不需要主动维护平衡，我们只需要在每个操作结束后进行一次splay(x,goal)的操作，它就可以自己维护了.
当然splay(x,goal)里面还是有旋转操作的.
splay(x,goal)伸展操作
splay(x,goal)操作也就是伸展操作.
通过一系列旋转使得x转到goal节点，旋转也需要分情况而论.
以下goal节点为root根节点举例.
情况一：节点x的父节点y是根节点. 这时如果x是y的左儿子，则进行一次zig操作；反之同理. 如图1所示.
情况二：节点x的父节点y还有一个父节点z. 且此时三点成链，则进行一次zigzig操作或zagzag操作（是的，此处旋转不需要维护平衡，只是为了将x旋转到目标节点），如图2所示.
情况三：节点x的父节点y还有父节点z. 且此时三点呈“之”字形，则进行一次zagzig操作或zigzag操作，如图3所示.
如图5，是一次splay(2,rt)的操作.
明显地，经过splay()操作后，平衡树明显“平衡”了许多.
所以我们在一些插入、查询等操作后就做一遍splay().
这样做的话，时间复杂度可以下降. 但是同样地，常数也就增加了. 所以\(Splay\)算法是本文4个算法中最慢的.
代码实现splay(x,goal)
void pushup(ll r)
{
if(!r)
return;
tr[r].sz=tr[ls(r)].sz+tr[rs(r)].sz+tr[r].cnt;
}
void rote(ll x)
{
ll y=fa[x],z=fa[y],flg=(x==rs(fa[x]));
tr[y].ch[flg]=tr[x].ch[!flg];
if(tr[x].ch[!flg]) fa[tr[x].ch[!flg]]=y;
tr[x].ch[!flg]=y;
fa[y]=x;
fa[x]=z;
if(z) tr[z].ch[y==rs(z)]=x;
pushup(y),pushup(x);
}
void splay(ll x,ll goal) // 这里goal==0时，表示将x转到根节点
{
// 这里3行包含了旋转的3种情况，请自行理解，这里不作过多解释
for(ll y;(y=fa[x])!=goal;rote(x))
if(fa[y]!=goal)
rote( ( ( rs(fa[y])==y) == (rs(y)==x) ) ? y : x);
if(goal==0) // 如果目标是根节点，那根节点需要更新为x
rt=x;
}
小飞版来咯~
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ls(r) tr[r].ch[0]
#define rs(r) tr[r].ch[1]
const ll MAXN=5e5+5,INF=0x3f3f3f3f;
struct Splay
{
ll ch[2],sz,val,cnt;
}tr[MAXN];
ll rt,pcnt;
ll fa[MAXN];
void pushup(ll r)
{
if(!r)
return;
tr[r].sz=tr[ls(r)].sz+tr[rs(r)].sz+tr[r].cnt;
}
void rote(ll x)
{
ll y=fa[x],z=fa[y],flg=(x==rs(fa[x]));
tr[y].ch[flg]=tr[x].ch[!flg];
if(tr[x].ch[!flg]) fa[tr[x].ch[!flg]]=y;
tr[x].ch[!flg]=y;
fa[y]=x;
fa[x]=z;
if(z) tr[z].ch[y==rs(z)]=x;
pushup(y),pushup(x);
}
void splay(ll x)
{
for(ll y;(y=fa[x]);rote(x))
if(fa[y]) rote(((rs(fa[y])==y)==(rs(y)==x))?y:x);
rt=x;
}
void ins(ll x)
{
if(!rt)
{
tr[++pcnt].val=x;
tr[pcnt].cnt++;
rt=pcnt;
pushup(rt);
return;
}
ll cur=rt,f=0;
while(1)
{
if(tr[cur].val==x)
{
tr[cur].cnt++;
pushup(cur);
pushup(f);
splay(cur);
return;
}
f=cur;
cur=tr[cur].ch[tr[cur].val<x];
if(!cur)
{
tr[++pcnt].val=x;
tr[pcnt].cnt++;
fa[pcnt]=f;
tr[f].ch[tr[f].val<x]=pcnt;
pushup(pcnt);
pushup(f);
splay(pcnt);
return;
}
}
}
ll grank(ll x)
{
ll res=0,cur=rt;
while(1)
{
if(tr[cur].val>x)
cur=ls(cur);
else
{
res+=tr[ls(cur)].sz;
if(tr[cur].val==x)
{
splay(cur);
return res+1;
}
res+=tr[cur].cnt;
cur=rs(cur);
}
}
}
ll xth(ll x)
{
ll cur=rt;
while(1)
{
if(ls(cur)&&tr[ls(cur)].sz>=x)
cur=ls(cur);
else
{
x-=tr[ls(cur)].sz+tr[cur].cnt;
if(x<=0)
{
splay(cur);
return tr[cur].val;
}
cur=rs(cur);
}
}
}
ll pre()
{
ll cur=ls(rt);
if(!cur)
return 0;
while(rs(cur)) cur=rs(cur);
splay(cur);
return cur;
}
ll nxt()
{
ll cur=rs(rt);
if(!cur)
return 0;
while(ls(cur)) cur=ls(cur);
splay(cur);
return cur;
}
void del(ll x)
{
grank(x);
if(tr[rt].cnt>1)
{
tr[rt].cnt--;
splay(rt);
return;
}
if(!rs(rt)&&!ls(rt))
{
rt=0;
return;
}
if(!ls(rt)||!rs(rt))
{
rt=ls(rt)+rs(rt);
fa[rt]=0;
return;
}
ll cur=rt;
ll y=pre();
fa[rs(cur)]=y;
rs(y)=rs(cur);
pushup(rt);
}
int main()
{
ll n;
scanf("%lld",&n);
while(n--)
{
ll op,x;
scanf("%lld%lld",&op,&x);
if(op==1)
ins(x);
if(op==2)
del(x);
if(op==3)
printf("%lld\n",grank(x));
if(op==4)
printf("%lld\n",xth(x));
if(op==5)
ins(x),printf("%lld\n",tr[pre()].val),del(x);
if(op==6)
ins(x),printf("%lld\n",tr[nxt()].val),del(x);
}
return 0;
}
最后
本文写得还是很仓促的，有些漏洞大家原谅一下.(^^)
本文还有很多不完善的地方，例如\(AVL\)代码没有指针版、图片模糊等.
欢迎大家在评论区留下建议或疑问、收藏、转发学习.
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The End
