密码学的期末复习

1 DES

1.1 简介

用56位的密钥加密64位的明文数据，将所有的被加密后的64位明文数据块串联在一起即为密文输出

• 对称密码体制
• 分组加密算法
  • 每一组长度为64位
• 密钥长度为64位，但是实际上只有56位参与运算
  • 第8、16、24、32、40、48、56、64位是校验位

1.2 算法概述

1.2.1 总体结构

1. 输入64位明文
2. 初始置换，将输入的64位明文经初始置换表置换后分为2个32位长度的L0、R0部分输出
3. 16轮轮函数迭代处理
4. 逆初始置换
5. 输出64位密文

1.2.2 单轮结构

以第一轮为例

1. 将输入的数据等分为左右两个部分
2. 将输入的右侧数据R0直接发送到输出的左侧部分，即L1=R0
3. 轮函数根据右侧数据R0和子密钥subkey，计算出结果
4. 将上一步所得的结果与左侧数据L0进行异或，并将所得的结果作为加密后的右侧数据即R1
5. 之后依次轮替进行

1.3 加密步骤1：初始IP置换

利用初始置换表对明文进行顺序打乱，得到一个乱序的64位比特序列

1. 初始置换表是给定的

   58	50	42	34	26	18	10	2
   60	52	44	36	28	20	12	4
   62	54	46	38	30	22	14	6
   64	56	48	40	32	24	16	8
   57	49	41	33	25	17	9	1
   59	51	43	35	27	19	11	3
   61	53	45	37	29	21	13	5
   63	55	47	39	31	23	15	7

1.3.1 输入与输出

1. 输入：64位明文
2. 输出：两部分的32位经过置换的密文（不是最终密文）

1.4 加密步骤2：子密钥生成

在DES的每一轮中，需要从56位密钥中产生出不同的48位子密钥。也就是说，在DES整个加密算法中，需要从56位的原始密钥中，扩展出16个48位的子密钥

1. 置换：主要操作方法类似于初始IP置换

   57	49	41	33	25	17	9	1	58	50	42	34	26	18
   10	2	59	51	43	35	27	19	11	3	60	52	44	36
   63	55	47	39	31	23	15	7	62	54	46	38	30	22
   14	6	61	53	45	37	29	21	13	5	28	20	12	4

   • 目的是为了去掉原始长度为64比特中的8比特的校验值
   • 置换出的结果分为左右两部分，各为28比特

2. 循环左移：根据轮数对这两部分分别循环左移

   轮数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
   位数	1	1	2	2	2	2	2	2	1	2	2	2	2	2	2	1

3. 压缩置换：从第2步循环左移得到的两组28位的数据（共56比特）中选出48位作为子密钥

   14	17	11	24	1	5	3	28	15	6	21	10
   23	19	12	4	26	8	16	7	27	20	13	2
   41	52	31	37	47	55	30	40	51	45	33	48
   44	49	39	56	34	53	46	42	50	36	29	32

1.4.1 输入与输出

1. 输入原始长度为64位的密钥
2. 去掉8位校验值（第1步，带有置换操作）
3. 循环左移，长度未变
4. 压缩，将56位比特序列压缩为48位比特序列

1.5 加密步骤3：轮函数

1. E扩展：32->48
2. 异或：48->48
3. S盒：48->32
4. P置换：32->32

1.5.1 轮函数步骤1：E扩展

1. 目的：将32位输入比特序列扩展为48位比特序列输出
2. 对象：R0（1.3中经过初始IP置换输出的R0）

32	1	2	3	4	5
4	5	6	7	8	9
8	9	10	11	12	13
12	13	14	15	16	17
16	17	18	19	20	21
20	21	22	23	24	25
24	25	26	27	28	29
28	29	30	31	32	1

1.5.2 轮函数步骤2：异或

经过E扩展（1.5.1）输出的48位比特序列

与

子密钥

1.5.3 轮函数步骤3：S盒

将1.5.2得到的48位数据送入8个S盒，进行代替运算

1. 48位输入分为8个6位分组
2. 每个S盒有6位输入4位输出

操作步骤

1. 提取原始数据的头尾数据，转化为十进制数，作为行
2. 提取原始数据的中间数据，转化为十进制数，作为列
3. 在表中定位到对应数据，将该位置上的数据转换为二进制

1.5.4 轮函数步骤4：P盒

16	7	20	21	29	12	28	17
1	15	23	26	5	18	31	10
2	8	24	14	32	27	3	9
19	13	30	6	22	11	4	25

最后将经过P盒置换的结果与L0进行异或，作为R1

1.6 加密步骤4：逆置换

2 AES

2.1 简介

用128/192/256位的密钥加密128位的明文，生成128位的密文

• 密钥长度的不同带来的是循环轮数的不同
  • 128位密钥循环10轮
  • 192位密钥循环12轮
  • 256位密钥循环14轮

2.1.1 明文字节排列算法

从上至下，从左至右

1	5	9	13
2	6	10	14
3	7	11	15
4	8	12	16

2.2 算法概述

1. 初始变换
2. 9轮循环运算
   • 字节代换
   • 行移位
   • 列混淆
   • 轮密钥加
3. 1轮最终轮
   • 字节代换
   • 行移位
   • 轮密钥加

2.3 加密步骤1：初始变换

将明文矩阵（4*4）与子密钥矩阵进行异或

2.3.1 明文字节排列为输入状态

从上至下，从左至右

1	5	9	13
2	6	10	14
3	7	11	15
4	8	12	16

2.4 加密步骤2：9轮循环运算

2.4.1 轮函数步骤1：字节代换

通过S盒转换，将原始数据代换为S盒中的数据

操作方法为

1. 前面1位为所在行，后面1位为所在列
2. 定位即可

2.4.2 轮函数步骤2：行移位

1. 第1行保持不变
2. 第2行向左移动1个字节
3. 第3行向左移动2个字节
4. 第4行向左移动3个字节

2.4.3 轮函数步骤3：列混淆

输入矩阵与给定矩阵相乘

2.4.4 轮函数步骤4：轮密钥加

异或

2.5 密钥扩展

密钥扩展是以列为单位计算的

计算方法由列数i是否是4的倍数决定

• 注：第1列为W0

1. 如果i不是4的倍数，那么第i列由如下等式确定

   W[i] = W[i-4]⊕W[i-1]
   

2. 如果i是4的倍数，那么第i列由如下等式确定

   W[i] = W[i-4]⊕T(W[i-1])
   

   • T函数包括
     • 字循环：将1个字中的4个字节循环左移1个字节
       • [1,2,3,4] -> [2,3,4,1]
     • 字节代换：将字循环的结果使用S盒进行字节代换
     • 轮常量异或：将上述步骤所得结果与轮常量Rcon[j]进行异或，其中j表示轮数

3 RSA

公钥加密算法

3.0 数学

3.0.1 同余≡

给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即(a-b) mod m=0，那么就称整数a与b对模m同余，记作a ≡ b(modm)，同时可成立a mod m = b

a ≡ b(mod m)仅可推出b = a mod m

3.0.2 欧拉函数

任意给定正整数n，计算在小于等于n的正整数之中，与n构成互质关系的值就叫做欧拉函数，以φ(n)表示

1. 如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p*q

   则φ(n) = φ(p)φ(q)

2. φ(n) = (p-1)(q-1)

3.0.3 模反元素

欧拉定理在此处指的是：如果两个正整数a和n互质，则

a^φ(n)≡1(modn);a的φ(n-1)次方

3.1 加密步骤

1. 随意选择两个大质数p、q，并计算乘积n=p*q

2. 计算n的欧拉函数：φ(n) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1)

3. 选一个与φ(n)互质的整数e

   • e介于1与φ(n)之间
   • e通常取65537

4. 计算出e对于φ(n)的模反元素d

   ed-1=kφ(n)
   a^φ(n) = 1(mod n);a的φ(n-1)次方
   

5. 公钥(e,n)：明文M,密文C

   M^e mod n = C
   

6. 私钥(d,n)

   C^d mod n = M
   

   看不下去了看不下去了

4 ECC