一些 CF 题

再开一坑！以后慢慢填吧。

感觉以后写题要加上题意简述了，不然往前看真的记不起题面。

CF2062D

给定一棵树，每个点有取值范围 $[l_{i}, r_{i}]$ ，每个点可以在范围内随意取值，进行任意次操作，每次操作选定 $u, v$ ，表示以 $u$ 为根， $v$ 所在的子树内的节点全部 $+ 1$ ，求通过操作使全树变成的最小统一权值。

$n \leq 2 \times 10^{5}$ ， $0 \leq l_{i} \leq r_{i} \leq 10^{9}$

*2200，div1+2的 D 题，第一眼看上去很不可做，又是换根子树加，又是全局统一的。

来分析一下性质，换根子树加一显然可以做转化，钦定 $1$ 为根，当选定的 $u$ 不在 $v$ 的子树内时，操作等价于子树 $+ 1$ ，当 $u$ 在 $v$ 的子树内，相当于全局 $+ 1$ ， $u$ 所在子树 $- 1$ ，这样操作就转化成了子树的任意权值变化，我们令 $f_{i}$ 表示以 $i$ 为根的子树内变成的最小统一权值，这个东西都不用 dp，直接贪心即可，记 $m x = max_{v \in s o n_{u}} f_{v}$ ，则当 $m x \leq r_{u}$ 时，我们需要进行子树加法操作，但因为对答案没有影响，所以不用记录，直接令 $f_{u} \leftarrow max (l_{u}, m x)$ ，当 $m x > r_{u}$ 时，我们需要子树减操作，而他夹带着全局加法，所以我们需要记录这个操作的个数，又因为要令操作次数最小，统计 $\sum_{v \in s o n_{u}} max (0, f_{v} - r_{u})$ ，最后令 $f_{u} \leftarrow m x$ 即可，我们用 $a n s$ 记录全局加法的个数，则最后的答案为 $f_{1} + a n s$ 。

Submission

CF817F

最近手感好烂，一直在调题。

给定一个有 $n$ 个点 $n - 1$ 条线段组成的序列，维护两个操作：

选定两个点，对两点之间的线段区间加上 $d$ 。

给定一个区间，从区间中等概率取两不相等点，求两点之间所有权值和的期望。

*2300，一开始想了个区间加维护前缀和的唐氏做法，真是无敌，没想到式子这么简单。

考虑一个元素被选中的次数，总方案有 $\frac{n (n - 1)}{2}$ ，此处 $n$ 为查询区间长度，下文同理。我们只把点转成线段，只看线段覆盖次数，也就是 $(i - l + 1) (r - i + 1)$ ， $l, r$ 为缩减之后的。那么这一个点的期望贡献为 $\frac{a_{i} (i - l + 1) (r - i + 1)}{\frac{n (n - 1)}{2}}$ ，硬拆式子，整理得到，原式等价于求 $- (\sum a_{i} i^{2}) + (r - l + 1 - l r) (\sum a_{i}) + (l + r) (\sum a_{i} i)$ 。

结论明显，用线段树分别维护 $\sum a_{i}$ ， $\sum a_{i} i$ ， $\sum a_{i} i^{2}$ 即可，第一个是普通区间加法，第二个第三个事先在线段树中维护出 $\sum i$ 和 $\sum i^{2}$ 即可，加法时直接乘就好了，复杂度 $O (n \log n)$ 。