高斯消元

求解线性齐次方程组。

先给一个线性方程组：

$\left\{\begin{array}{cc}{a}_{1,1}{x}_1+a_{2,1}{x}_2+a_{3,1}{x}_3+...=b_1& \\ a_{1,2}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+a_{3,2}{x}_3+...=b_2& \\ a_{1,3}{x}_1+a_{2,3}{x}_2+a_{3,3}{x}_3+...=b_3& \end{array}\right\}$

他的增广矩阵就是未知数系数和 $b_i$ 值所写作的矩阵：

$\{\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& a_{2,1}& a_{3,1}& ..& |& b_1& \\ a_{1,2}& a_{2,2}& a_{3,2}& ..& |& b_2& \\ a_{1,3}& a_{2,3}& a_{3,3}& ..& |& b_3& \end{array}$

我们对于增广矩阵有几个变换形式（初等行变换）：

1. 交换两行
2. 把某一行乘一个非零数 $k$
3. 把某一行的 $k$ 倍加到某行

对于方程组的解，我们有：如果一个方程组有至少两个解，那么他一定有无数解。感性理解是简单的，证明也不难。

之后我们考虑解这个方程组，也是有两种方法的：

两种方法的初始形式一样，高斯消元法的结果矩阵是：

$\{\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& ...& 1& |& b_1& \\ 0& 1& 1& ...& 1& |& b_2& \\ ...& \\ 0& 0& 0& ...& 1& |& b_3& \end{array}$

高斯约旦-约旦消元法：

$\{\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& ...& 0& |& b_1& \\ 0& 1& 0& ...& 0& |& b_2& \\ ...& \\ 0& 0& 0& ...& 1& |& b_3& \end{array}$

现在说高斯消元法的具体步骤：

1. 检查 $a_{1,1}$ 是否为 $0$，如果不是，记 $r_i$ 表示第 $i$ 行的方程式，我们令 $r_i=r_i+r_1\times k_i$，使得 $a_{i,1}$ 变为 $0$，等同于加减消元的过程，之后每一列都可以同理做。否则，如果 $a_{1,1}$ 是 $0$，再找另一行，再与 $r_1$ 交换，同上继续做，假设还是找不到，那他就具有无数解。

2. 我们可以通过步骤 1 检索所有列，将他变成同上方一的矩阵就可以顺序求解未知数了。

3. 对于无解和无穷解的情况：

   • 当有一行的未知数系数为 $0$，且 $b_i$ 不为 $0$ 的时候，那么方程组无解，我们也可以看做阶梯的直角拐角发生在最后一个点，那么这个方程组无解，其他方式均有解。
   • 当方程数量少于主元数量时，显然是无穷解的，或者说，当出现类似“延长阶梯”的时候，方程同样无数解

到这里还有一步，我们要将这个矩阵变为简化阶梯形矩阵：

我们称一个简化阶梯形矩阵满足：

1. 他是一个阶梯形矩阵
2. 非零行首元素均为 1
3. 首元素所在列其他元素均为 0

$\begin{array}{cccccc}2& 1& -1& 1& 1& \\ 0& -3.5& 3.5& -4.5& 0.5& \\ 0& -1.5& 1.5& -0.5& -3.5& \\ 0& -2& 2& -4& 3& \end{array}$