集训日志

好的，新开了个博客，记题解的。

10.1

靠，懒不了了，口述题面吧。

T1

给一个 01 序列，每次交换两个位置的代价是 \(|i-j|^k\)，\(k\) 已经给定，求使得序列变成 01 交替的最小代价。

注意到 \(k \leq 1\) 时才是有效的，更大的就可以拆成小的交换，然后就做完了。

T2

给 \(m\) 个区间，每个区间有代价 \(c_i\)，每个点有最大覆盖次数 \(p_i\)，求至少覆盖 \(k\) 个点的最小代价。

对于 \(p_i = 1\) 也就是每个区间无交集，设计 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个点选了 \(j\) 个的最小代价，然后 \(O(n)\) 转移，复杂度 \(O(n^2)\)，转移是 \(f(i,j) = \min \left \{ f(l-1,j-len)+w(l,j)\right \}\)

考虑拓展一般情况，我好像已经想到了，然后莫名其妙 hack 了自己，发现当 \(p_i\) 无取值要求时，一个点最多只会被俩区间覆盖，然后 \(p_i\) 就只有为 \(1\) 和不为 \(1\) 两种取值，对于为 \(1\)，就和 Sub 1 相同，不为 1 时，他还能再被覆盖一次，假设后面我们枚举了一个 \(k\),那么 \([k,j]\) 仍然是有贡献的，所以就再前面 \(p_i\) 等于 \(1\) 的时候多进行一步转移就好了，复杂度 \(O(n^3)\)。

还是讲一下具体实现过程，我们称一段 \(>1\) 连续的 \(p\) 序列为“可拓展的”，我们先枚举右端点再枚举左端点，此时考虑枚举左端点的过程中，我们总是想要一段“可拓展的”块，也就是大概 11111222222222 i，\(i\) 前面的 \(2\) 都是可覆盖的，那么我们就是找这样的块，然后取这样的块内最小值转移就好了，就是这样：

fo(1,i,n){
	fo(1,j,i) f[i][j]=f[i-1][j];
	ll minx=INF;
	fo(1,l,i){
		if(a[l][i]<minx||p[l-1]!=1){
			minx=min(minx,a[l][i]);
			fo(1,j,i) if(j-i+l-1>=0&&j-i+l-1<=l-1) f[i][j]=min(f[i][j],f[l-1][j-i+l-1]+minx);
		}
		else if(p[l-1]==1) minx=INF;
	}
}

T3

一棵树，两个操作，将 \(u\) 到 \(v\) 都连在一起，求 \(u\) 到 \(v\) 路径上有多少连通块。

树剖板子，但是 \(O(n\log^2 n)\) 被卡了，这就是大常熟树剖的优势。

发现边转点之后，给每个点一个颜色，表示自己跟父亲有没有边相连，没有为白色，那么答案就是链上的白点数量，然后就是树剖板子，这样是 \(O(n\log^2 n)\) 的，期望 60~100，大常熟的奇妙之处。

发现既然是记录白点数量，树状数组就能干了，记录和再容斥掉 lca 的答案，点修单改都是 \(O(\log)\) 的，所以期望 100。

T4

\(N\) 皇后，有不能放的位置，求方案数。

不会容斥，不会容斥，不会容斥。

一步一步来，考虑如何判断每个对角线都有一个车，就是总方案数 \(n!\) 容斥掉没有车在对角线上的情况，然后处理不让放的点，发现 \(m\leq 10\)，所以直接枚举不让放的点，子集枚举，然后再容斥掉这个时候所有的方案数，最后还要再容斥掉同时满足上面三个条件的情况，所以复杂度 \(O(2^mn^2)\)。

10.2

最丑陋的一场。

T1

给一个序列求在模 \(m\) 的情况下最大的子序列和，\(n\leq 35 ~ a_i \leq 10^9 ~ m \leq 10^9\)。

看到 \(n\leq 35\) 就往折半搜索想了，直接折半搜索，然后合并两堆数字，数字合并过程排序后贪心二分即可。

T2

给一个小写字符串，求不同子序列个数。

发现都是小写字母，直接枚举子序列可能是什么，然后扔进去匹配，记录 \(pre_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个位置前面第一个 \(j\) 字母在哪里，直接硬匹配就好了，复杂度 \(O(26^4)\)。

T3

两个人在 \(n\times n\) 方格上走，每次向下或向右，小 W 可以选择不超过三个数，选择之后小 B 走，小 B 选择的数的最大值不能达到小 W 数的最小值，个数不能超过小 W 选的数字个数，记他们两个拿的数字之和为价值，求价值最大值。\(n\leq 15\)

考虑暴力枚举小 W 选的点，然后 \(O(n^2)\) dp 小 B 检查，这样做是 \(O(n^8)\) 的，无法通过。

发现每次只能向下或向右，那么确定一个点之后下一个点只会在他的右下角，而且每个点只会对后面的点有影响，我们只需要枚举小 W 的前两个点，然后找第二个点右下角的最大值就好了，因为显然取更小值更劣，所以复杂度 \(O(n^6)\) 可以通过。

T4

一堆区间，一堆询问，每次询问求至少多少区间能覆盖这个询问区间。

先只考虑一个点时怎么做，显然我们当前的最优结果就是向右走的最远，也就是对区间排序后的前缀最大右端点，记前缀最大右端点为 \(pre_i\)，那么我们下一个选择的点就是 \(pre_{pre_i}\)，依次叠加，但是可能被单调递增序列卡掉，复杂度退化为 \(O(n^2)\)，有 30 分。

考虑优化，发现每一个跳到下一个决策位置的过程很类似树上求 LCA，直接倍增优化此过程，复杂度 \(O(n\log n)\)，可以通过。