梯度下降

SGD

SGD指stochastic gradient descent，即随机梯度下降。是梯度下降的batch版本。

对于训练数据集，我们首先将其分成n个batch，每个batch包含m个样本。我们每次更新都利用一个batch的数据，而非整个训练集。即： 

　　xt+1=xt+Δxt

　　Δxt=−ηgt

其中，η为学习率，gt为x在t时刻的梯度。

 

这么做的好处在于：

• 当训练数据太多时，利用整个数据集更新往往时间上不显示。batch的方法可以减少机器的压力，并且可以更快地收敛。
• 当训练集有很多冗余时（类似的样本出现多次），batch方法收敛更快。以一个极端情况为例，若训练集前一半和后一半梯度相同。那么如果前一半作为一个batch，后一半作为另一个batch，那么在一次遍历训练集时，batch的方法向最优解前进两个step，而整体的方法只前进一个step。

Momentum

SGD方法的一个缺点是，其更新方向完全依赖于当前的batch，因而其更新十分不稳定。解决这一问题的一个简单的做法便是引入momentum。

momentum即动量，它模拟的是物体运动时的惯性，即更新的时候在一定程度上保留之前更新的方向，同时利用当前batch的梯度微调最终的更新方向。这样一来，可以在一定程度上增加稳定性，从而学习地更快，并且还有一定摆脱局部最优的能力： 

　　Δxt=ρΔxt−1−ηgt

其中，ρ 即momentum，表示要在多大程度上保留原来的更新方向，这个值在0-1之间，在训练开始时，由于梯度可能会很大，所以初始值一般选为0.5；当梯度不那么大时，改为0.9。η 是学习率，即当前batch的梯度多大程度上影响最终更新方向，跟普通的SGD含义相同。ρ 与 η 之和不一定为1。