正则化方法

转自：http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

在训练数据不够多时，或者overtraining时，常常会导致overfitting（过拟合）。其直观的表现如下图所示，随着训练过程的进行，模型复杂度增加，在training data上的error渐渐减小，但是在验证集上的error却反而渐渐增大——因为训练出来的网络过拟合了训练集，对训练集外的数据却不work。

避免过拟合的方法有很多：early stopping、数据集扩增（Data augmentation）、正则化（Regularization）包括L1、L2（L2 regularization也叫weight decay），dropout。

 

Early stopping

  对模型进行训练的过程即是对模型的参数进行学习更新的过程，这个参数学习的过程往往会用到一些迭代方法，如梯度下降（Gradient descent）学习算法。Early stopping便是一种迭代次数截断的方法来防止过拟合的方法，即在模型对训练数据集迭代收敛之前停止迭代来防止过拟合。 
  Early stopping方法的具体做法是，在每一个Epoch结束时（一个Epoch集为对所有的训练数据的一轮遍历）计算validation data的accuracy，当accuracy不再提高时，就停止训练。这种做法很符合直观感受，因为accurary都不再提高了，在继续训练也是无益的，只会提高训练的时间。那么该做法的一个重点便是怎样才认为validation accurary不再提高了呢？并不是说validation accuracy一降下来便认为不再提高了，因为可能经过这个Epoch后，accuracy降低了，但是随后的Epoch又让accuracy又上去了，所以不能根据一两次的连续降低就判断不再提高。一般的做法是，在训练的过程中，记录到目前为止最好的validation accuracy，当连续10次Epoch（或者更多次）没达到最佳accuracy时，则可以认为accuracy不再提高了。此时便可以停止迭代了（Early Stopping）。这种策略也称为“No-improvement-in-n”，n即Epoch的次数，可以根据实际情况取，如10、20、30……

 

L2 regularization（权重衰减）

L2正则化就是在代价函数后面再加上一个正则化项：

C0代表原始的代价函数，后面那一项就是L2正则化项，它是这样来的：所有参数w的平方的和，除以训练集的样本大小n。λ就是正则项系数，权衡正则项与C0项的比重。另外还有一个系数1/2，1/2经常会看到，主要是为了后面求导的结果方便，后面那一项求导会产生一个2，与1/2相乘刚好凑整。

L2正则化项是怎么避免overfitting的呢？我们推导一下看看，先求导：

可以发现L2正则化项对b的更新没有影响，但是对于w的更新有影响:

在不使用L2正则化时，求导结果中w前系数为1，现在w前面系数为 1−ηλ/n ，因为η、λ、n都是正的，所以 1−ηλ/n小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。当然考虑到后面的导数项，w最终的值可能增大也可能减小。

另外，需要提一下，对于基于mini-batch的随机梯度下降，w和b更新的公式跟上面给出的有点不同：

对比上面w的更新公式，可以发现后面那一项变了，变成所有导数加和，乘以η再除以m，m是一个mini-batch中样本的个数。

到目前为止，我们只是解释了L2正则化项有让w“变小”的效果，但是还没解释为什么w“变小”可以防止overfitting？一个所谓“显而易见”的解释就是：更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀），而在实际应用中，也验证了这一点，L2正则化的效果往往好于未经正则化的效果。当然，对于很多人（包括我）来说，这个解释似乎不那么显而易见，所以这里添加一个稍微数学一点的解释（引自知乎）：

过拟合的时候，拟合函数的系数往往非常大，为什么？如下图所示，过拟合，就是拟合函数需要顾忌每一个点，最终形成的拟合函数波动很大。在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。

而正则化是通过约束参数的范数使其不要太大，所以可以在一定程度上减少过拟合情况。

 

L1 regularization

在原始的代价函数后面加上一个L1正则化项，即所有权重w的绝对值的和，乘以λ/n（这里不像L2正则化项那样，需要再乘以1/2，具体原因上面已经说过。）

同样先计算导数：

上式中sgn(w)表示w的符号。那么权重w的更新规则为：

比原始的更新规则多出了η * λ * sgn(w)/n这一项。当w为正时，更新后的w变小。当w为负时，更新后的w变大——因此它的效果就是让w往0靠，使网络中的权重尽可能为0，也就相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。

另外，上面没有提到一个问题，当w为0时怎么办？当w等于0时，|W|是不可导的，所以我们只能按照原始的未经正则化的方法去更新w，这就相当于去掉η*λ*sgn(w)/n这一项，所以我们可以规定sgn(0)=0，这样就把w=0的情况也统一进来了。（在编程的时候，令sgn(0)=0,sgn(w>0)=1,sgn(w<0)=-1）

 

Dropout

L1、L2正则化是通过修改代价函数来实现的，而Dropout则是通过修改神经网络本身来实现的，它是在训练网络时用的一种技巧（trike）。它的流程如下：

假设我们要训练上图这个网络，在训练开始时，我们随机地“删除”一半的隐层单元，视它们为不存在，得到如下的网络：

保持输入输出层不变，按照BP算法更新上图神经网络中的权值（虚线连接的单元不更新，因为它们被“临时删除”了）。

以上就是一次迭代的过程，在第二次迭代中，也用同样的方法，只不过这次删除的那一半隐层单元，跟上一次删除掉的肯定是不一样的，因为我们每一次迭代都是“随机”地去删掉一半。第三次、第四次……都是这样，直至训练结束。

以上就是Dropout，它为什么有助于防止过拟合呢？可以简单地这样解释，运用了dropout的训练过程，相当于训练了很多个只有半数隐层单元的神经网络（后面简称为“半数网络”），每一个这样的半数网络，都可以给出一个分类结果，这些结果有的是正确的，有的是错误的。随着训练的进行，大部分半数网络都可以给出正确的分类结果，那么少数的错误分类结果就不会对最终结果造成大的影响。

更加深入地理解，可以看看Hinton和Alex两牛2012的论文《ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks》

 

数据集扩增（data augmentation）

“有时候不是因为算法好赢了，而是因为拥有更多的数据才赢了。”

不记得原话是哪位大牛说的了，hinton？从中可见训练数据有多么重要，特别是在深度学习方法中，更多的训练数据，意味着可以用更深的网络，训练出更好的模型。

既然这样，收集更多的数据不就行啦？如果能够收集更多可以用的数据，当然好。但是很多时候，收集更多的数据意味着需要耗费更多的人力物力，有弄过人工标注的同学就知道，效率特别低，简直是粗活。

所以，可以在原始数据上做些改动，得到更多的数据，以图片数据集举例，可以做各种变换，如：

• 将原始图片旋转一个小角度

• 添加随机噪声

• 一些有弹性的畸变（elastic distortions），论文《Best practices for convolutional neural networks applied to visual document analysis》对MNIST做了各种变种扩增。

• 截取（crop）原始图片的一部分。比如DeepID中，从一副人脸图中，截取出了100个小patch作为训练数据，极大地增加了数据集。感兴趣的可以看《Deep learning face representation from predicting 10,000 classes》.

  更多数据意味着什么？

用50000个MNIST的样本训练SVM得出的accuracy94.48%，用5000个MNIST的样本训练NN得出accuracy为93.24%，所以更多的数据可以使算法表现得更好。在机器学习中，算法本身并不能决出胜负，不能武断地说这些算法谁优谁劣，因为数据对算法性能的影响很大。

 

Batch Normalization

应当在每一层的激活函数之后，例如ReLU=max(Wx+b,0)之后，对数据进行归一化。然而，文章中说这样做在训练初期，分界面还在剧烈变化时，计算出的参数不稳定，所以退而求其次，在Wx+b之后进行归一化。因为初始的W是从标准高斯分布中采样得到的，而W中元素的数量远大于x，Wx+b每维的均值本身就接近0、方差接近1，所以在Wx+b后使用Batch Normalization能得到更稳定的结果。

       文中使用了类似z-score的归一化方式：每一维度减去自身均值，再除以自身标准差，由于使用的是随机梯度下降法，这些均值和方差也只能在当前迭代的batch中计算，故作者给这个算法命名为Batch Normalization。这里有一点需要注意，像卷积层这样具有权值共享的层，Wx+b的均值和方差是对整张map求得的，在batch_size * channel * height * width这么大的一层中，对总共batch_size*height*width个像素点统计得到一个均值和一个标准差，共得到channel组参数。

　　在Normalization完成后，Google的研究员仍对数值稳定性不放心，又加入了两个参数gamma和beta，使得

       注意到，如果我们令gamma等于之前求得的标准差，beta等于之前求得的均值，则这个变换就又将数据还原回去了。在他们的模型中，这两个参数与每层的W和b一样，是需要迭代求解的。文章中举了个例子，在sigmoid激活函数的中间部分，函数近似于一个线性函数（如下图所示），使用BN后会使归一化后的数据仅使用这一段线性的部分（吐槽一下：再乘个2之类的不就行了）。

       可以看到，在[0.2, 0.8]范围内，sigmoid函数基本呈线性递增，甚至在[0.1, 0.9]范围内，sigmoid函数都是类似于线性函数的，如果只用这一段，那网络不就成了线性网络了么，这显然不是大家愿意见到的。至于这两个参数对ReLU起的作用文中没说，我就不妄自揣摩了哈。

       算法原理到这差不多就讲完了，下面是大家 最不喜欢的公式环节了，求均值和方差就不用说了，在BP的时候，我们需要求最终的损失函数对gamma和beta两个参数的导数，还要求损失函数对Wx+b中的x的导数，以便使误差继续向后传播。求导公式如下：

 

　　具体的公式推导就不写了，有兴趣的读者可以自己推一下，主要用到了链式法则。

　　在训练的最后一个epoch时，要对这一epoch所有的训练样本的均值和标准差进行统计，这样在一张测试图片进来时，使用训练样本中的标准差的期望和均值的期望（好绕口）对测试数据进行归一化，注意这里标准差使用的期望是其无偏估计：

　　论文中将Batch Normalization的作用说得突破天际，好似一下解决了所有问题，下面就来一一列举一下：

　　(1) 可以使用更高的学习率。如果每层的scale不一致，实际上每层需要的学习率是不一样的，同一层不同维度的scale往往也需要不同大小的学习率，通常需要使用最小的那个学习率才能保证损失函数有效下降，Batch Normalization将每层、每维的scale保持一致，那么我们就可以直接使用较高的学习率进行优化。

　　(2) 移除或使用较低的dropout。 dropout是常用的防止overfitting的方法，而导致overfit的位置往往在数据边界处，如果初始化权重就已经落在数据内部，overfit现象就可以得到一定的缓解。论文中最后的模型分别使用10%、5%和0%的dropout训练模型，与之前的40%-50%相比，可以大大提高训练速度。

　　(3) 降低L2权重衰减系数。 还是一样的问题，边界处的局部最优往往有几维的权重（斜率）较大，使用L2衰减可以缓解这一问题，现在用了Batch Normalization，就可以把这个值降低了，论文中降低为原来的5倍。

　　(4) 取消Local Response Normalization层。 由于使用了一种Normalization，再使用LRN就显得没那么必要了。而且LRN实际上也没那么work。

　　(5) 减少图像扭曲的使用。 由于现在训练epoch数降低，所以要对输入数据少做一些扭曲，让神经网络多看看真实的数据。