拓扑排序

合集 - 算法竞赛(13)

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拓扑排序

大家好，我是Weekoder！

接上次的二分查找，我又打算写一篇关于拓扑排序的文章！

本文涉及到的知识比较多，请确认已经掌握了以下知识：

• 循环、输入、数组等基本语法

• STL vector容器的基本操作

• STL queue队列的基本操作

• 图论基本知识

其中，第二条并不是必要的，只要你能用自己的方法遍历图上任意一个点所有出边，如使用链式前向星。

好了，当你掌握了这些知识后，我们就可以进入主题了。

拓扑排序的理论概念

在有向无环图（DAG）中，将$n$个结点整理出一组排列，使得对于每一条边$x\to y$，在排列中$x$总是在$y$之前，这样的排列称为原图的拓扑序，而制造出拓扑序的算法称为拓扑排序。

拓扑排序的作用

当我们做事情时，往往需要有一个先后顺序。就像早上你需要先起床，再洗脸刷牙，换衣服，然后吃早餐，最后出门。你总不能先出门再起床吧。我们把这些需要处理的事情看作图上的点，事情之间的关系看作一条有向边，这种先后顺序就是拓扑序。这只是一个简单的例子，但如果你有$100$个事情，$1000$个事情甚至$10000$个事情时，他们之间还得有一定的先后顺序，肯定是处理不过来的，于是就有了拓扑排序来处理这类问题。

而又因为洗脸刷牙和换衣服不分先后顺序，所以拓扑序不一定是唯一的。

提问/解释环节

• 有向无环图是啥？

由有向边组成的没有环的图叫有向无环图，又叫DAG。

• 没什么非得是有向无环图？

有向：

因为我们需要满足对于每一条边$x\to y$，在排列中$x$总是在$y$之前，但是在无向图的无向边中是没有前后的概念的。

无环：

我们再来举个例子。假设有两个需要处理的事情$x$和$y$，并且处理$y$需要在$x$之前，处理$x$需要在$y$之前。 这里肯定有人就会觉得奇怪，先别急，我们把它的图给画出来。

可以看到，一条$x\to y$的边代表处理$y$需要在$x$之前，而一条$y\to x$的边代表处理$x$需要在$y$之前。那这不是矛盾了吗？ 没错，因为这样的信息导致既不能完成$x$，也不能完成$y$，同时还导致上面的图形成了一个环。 也就是说，图中有环会导致信息产生矛盾，从而无法完成所有的事件。

实现拓扑排序

参考【模板】拓扑排序 / 家谱树。

题目大意：

给出$n$个人的后代，将$n$个人整理出一种顺序，使得辈分大的在前面，小的在后面。

分析：

既然是要整理出一种顺序，不妨试试拓扑排序。我们可以把每个人看作一个结点，并且因为要先输出辈分大的，所以将祖先指向后代来建造有向边。而且这里是一定不会出现环的，因为不可能出现我是你爸爸，然后你又是我爷爷之类的事情，因此只可能构造一个有向无环图。

代码：

先把我的代码贴上来，接下来我会跟着代码上的注释逐一讲解。

$Code$:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 5; // 数组大小
int n, in[N], x; // 分别是人数，每个点的入度，输入变量
vector<int> nbr[N]; // 存图
// 先去看主函数！
void topo() { // 封装成一个函数
	queue<int> q; // 用队列进行操作
	for (int i = 1; i <= n; i++) // 先将所有入度为0的点入队
		if (!in[i]) // 判断入度是否为0
			q.push(i); // 入队
	while (!q.empty()) { // 当队列不为空时执行（还有入度为0的点）
		int cur = q.front(); // 先记录即将要输出并且要遍历后代的点
		q.pop(); // 删除入度为0的点
		cout << cur << " "; // 先输出
		for (auto nxt : nbr[cur]) { // 看不懂的可以改为：for (int nxt = 0; nxt < nbr[cur].size(); nxt++) 遍历这个点的所有后代
			in[nxt]--; // 入度减1
			if (!in[nxt]) // 如果入度为0
				q.push(nxt); // 入队
		}
	}
	return ; // 一定要写返回！回去看主函数
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0); // 这个可以不用管
	cin >> n; // 输入人数
	for (int i = 1; i <= n; i++) { // 循环读入每个人的后代
		while (1) {
			cin >> x; // 输入后代
			if (!x) // 如果为0则跳出
				break; // 跳出
			nbr[i].emplace_back(x); // 记录i的后代
			in[x]++; // x的入度加1
		}
	}
	topo(); // 去看拓扑排序函数
	return 0; // 大功告成！
}

OK，我们从主函数看起。

首先是一些输入，我就不讲解了，来看$while$循环里的倒数两句：

nbr[i].emplace_back(x);
in[x]++;

这两句是什么意思呢？首先，这里用到了一个$vector$容器$nbr[N]$和一个数组$in$。它们分别是用来干什么的呢？$nbr[i]$里面存的是$i$的后代，在图中可以理解为$i$指向的所有点。因为并不确定有多少个，所以使用$STL$ $vector$。而$in[i]$代表的是点$i$的入度。点$i$的入度指的是有多少条边直接指向$i$。比如有三条边$j\to i$，$k\to i$，$x\to j$，那么$i$的入度就是$2$。于是这里我们就往$nbr[i]$中加入了他的后代$x$，并且因为在图中相当于是$i$指向了$x$，于是$x$的入度就加了$1$。

接下来就该调用我们的拓扑排序函数$topo$啦！

在$topo$函数中我们需要用到队列的操作，$STL$ $queue$或手写队列都可以。我这里用的是$STL$ $queue$。我们来看看我们要怎样找到一个拓扑序。我们刚才说过$i$的入度指的是有多少条边直接指向$i$，那么假设我们现在要在图中输出一个符合拓扑序的点$i$，$i$应该符合什么条件呢？答案是入度为$0$。因为假设现在输出的$i$是一个入度大于$0$的点，那么就必定有一条边$x\to i$。也就是如果现在输出$i$，那么$x$就在$i$之后了，不符合拓扑序的规则。

现在我们知道了我们要找入度为$0$的点输出，那么我们输出了以后当然也要删除它。于是它指向的所有点的入度都要减$1$。但当这些点减了$1$后，若它的入度变为$0$，则也需要将它入队。请结合代码中的注释自行理解。

总结 + 挑战例题

拓扑排序就是一直将入度为零的点输出、删除并继续统计，最后得到拓扑序，并且这个算法的时间复杂度是$O(n+m)$。你是否理解了呢？这里我再给大家出一道挑战例题，相信你一定能$AC$。

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再见！