SPFA 判负环

合集 - 算法竞赛(13)

1.快速幂2024-06-072.【精选】矩阵加速2024-06-073.【二分答案】P2390 地标访问2024-06-094.动态规划初步2024-06-095.最短路算法之：Dijkstra 算法2024-06-096.最短路算法之：floyd 算法2024-06-097.最短路算法之：SPFA 算法2024-06-098.【习题】区间型动态规划2024-06-09

9.SPFA 判负环2024-06-09

10.负环的习题和应用2024-06-0911.详解二分查找2024-06-0912.拓扑排序2024-06-0913.CF Round 920 (Div. 3) 笔记2024-06-09

收起

SPFA 判负环

大家好，我是Weekoder！

今天我要讲的是接上一次 SPFA 最短路算法衍生而来的一个应用——判断图中是否存在负环。我将介绍两种判负环的方法，都基于 SPFA。

负环的概念

负环是什么？

负环就是在图中的一个环，其边权之和为负数。如下图：

可以看到，这个环的权值和是 $(-2)+(-1)+1=-2$，为负数，则这是一个负环。哪怕其中有正权值，只要权值和小于 $0$，这个环即是一个负环。

如果一个图有负环，则该图没有最短路，因为可以在负环中无限绕圈，不断减少路径长度，一直到 $-\mathrm{\infty }$。

BFS-SPFA 判负环

今天介绍的第一种方法是基于 BFS 的搜索方式的判定方法。在 SPFA 模板的基础上，只修改了一点点，非常容易。它的原理是：维护一个 $dp$ 数组用于计数，$d{p}_i$ 表示点 $i$ 的最短路所经过的边数。我们知道一个点的最短路最多会经过其他 $n-1$ 个点。经过多少点，就经过多少边，则我们有：$d{p}_i\le n-1$。我们不会经过任何一个重复的点，除非有负环让这个点继续走下去。那么当上一个式子 $d{p}_i\le n-1$ 反过来，就变成了 $d{p}_i>n-1$，即 $d{p}_i\ge n$，也就是重复走了一个点，有负环。于是我们可以状态转移，对于一条边 $cut\to nxt$，我们的状态转移方程是：$d{p}_{nxt}=d{p}_{cur}+1$。然后我们再判断 $d{p}_i\ge n$，如果成立则有负环，最后返回没有负环。虽然讲了一大堆，但是代码却几乎没有修改。

参考题目：P3385。

$\text{Code:}$

bool spfa(int s) {
    queue<int> q;
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    memset(dp, 0, sizeof dp); // 记得初始化
    dis[s] = 0;
    vis[s] = 1;
    q.push(s);
    while (!q.empty()) {
        int cur = q.front(); q.pop();
        vis[cur] = 0;
        for (auto nxt : nbr[cur]) {
            int to = nxt.to, w = nxt.w;
            if (dis[to] > dis[cur] + w) {
                dis[to] = dis[cur] + w;
                dp[to] = dp[cur] + 1; // 状态转移方程
                if (dp[to] >= n) return 1; // 如果存在负环，则返回1
                if (!vis[to]) {
                    vis[to] = 1;
                    q.push(to);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

DFS-SPFA 判负环

这个方法是我在做 P3199 最小圈的时候，因为不知道为什么 $\mathtt{\text{TLE}}$ 而去网上查到的（好了，P3199 就是下一篇文章的素材了）。它的原理也很简单，就是一个点如果被松弛多于 $1$ 次，就一定存在负环。在一开始，就给当前的点打上 $\text{vis}$ 标记，最后再取消。我们遍历当前点的邻接点，假设为 $\text{to}$。在松弛完毕后立马判断 ${\text{vis}}_{\text{to}}$ 是否为 $\text{True}$，如果是，则 $\text{to}$ 之前就被松弛过，现在还能松弛，则一定有负环。否则继续 $\text{DFS}$，最后返回 $\text{False}$。如果递归的结果是 $\text{True}$，则也有负环，可以写为一个条件判断式，即 ${\text{vis}}_{\text{to}}||\text{spfa(to)}$。这里有个细节，${\text{vis}}_{\text{to}}$ 写在前面，因为短路运算符的性质，只要 ${\text{vis}}_{\text{to}}$ 成立，就不会看 $\text{spfa(to)}$，不再继续 $\text{DFS}$，节省时间。

$\text{Code:}$

bool spfa(int cur) {
    vis[cur] = 1;
    for (auto nxt : nbr[cur]) {
        int to = nxt.to, w = nxt.w;
        if (dis[to] > dis[cur] + w) {
            dis[to] = dis[cur] + w;
            if (vis[to] || spfa(to)) return 1;
        }
    }
    vis[cur] = 0;
    return 0;
}

可以看到，$\text{DFS}$ 的代码简短的多，但是友情提示一下，这个算法过不了 P3385，会 T 一个点。

BFS-SPFA 对比 DFS-SPFA

如果你去实践了一下，你会发现：诶？DFS 的版本过不了模板，BFS 却能过。DFS 是不是比 BFS 慢？不，听我来分析一下他们的区别。DFS-SPFA 其实比 BFS-SPFA 要快得多。你会发现评测记录中其他测试点基本上都是几毫秒，都没有超过 $10\text{ms}$。在一个图中，如果只要判断是否存在负环，DFS-SPFA 是非常快的，这道模板题只是有一个点专门卡 DFS。而如果要在没有负环后输出最短路，则 BFS 会更快。比如下一次要讲的一些习题中，有的就要获得最短路，而有的只要判断负环存在就行了。比如我说的 P3199 最小圈，就只要判断是否存在负环，用 BFS-SPFA 就会 $\mathtt{\text{TLE}}$ 挂 $50\text{pts}$。

小结

综上所述，SPFA 判负环的方法就是这些了。请不要忘记关注下一次的文章：负环的习题和应用。

再见！