快速幂

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大家好，我是Weekoder！

今天的内容是快速幂！（实际上是为了讲矩阵快速幂赶出来的嘻嘻

Part 1 用处

快速幂，顾名思义就是快速地计算出某个数的幂，形如 $a^{n}$ 。

Part 2 思想

为什么普通的幂运算慢？假设要计算 $a^{n}$ ，则需要拆分成 $a \times a \times \dots \times a \times a$ ，运算 $n$ 次，复杂度为 $O (n)$ 。当 $n$ 很大时，这个算法明显就不行了。那要怎么优化呢？我们先来看一个简单一点的例子：当 $n$ 为 $2$ 的幂时，可以怎么做呢？假设 $n$ 为 $32$ ，可以这样计算：

\begin{array}{r} a^{1} \times a^{1} = a^{2} \\ a^{2} \times a^{2} = a^{4} \\ a^{4} \times a^{4} = a^{8} \\ a^{8} \times a^{8} = a^{16} \\ a^{16} \times a^{16} = a^{32} \end{array}

注意： $a^{x} \times a^{y} = a^{x + y}$ 。

可以发现，这样只计算了 $5$ 次，相比于朴素算法的 $32$ 次，将时间复杂度优化到了 $O (\log n)$ 。这其实是倍增的原理，相比于一个一个乘 $a$ ，不如将 $a$ 的数量翻倍乘。

那如果 $n$ 不是 $2$ 的幂呢？比如， $n = 105$ 的时候，该怎么办呢？虽然 $105$ 不是 $2$ 的幂，但是我们发现 $105$ 可以拆分成 $2$ 的幂之和，像这样：

105 = 1 + 8 + 32 + 64

于是，我们可以把 $a^{105}$ 拆分一下：

a^{105} = a^{1 + 8 + 32 + 64} = a^{1} \times a^{8} \times a^{32} \times a^{64}

我们在刚刚提到过，计算 $n$ 是 $2$ 的幂的情况是很容易的，所以我们只需要将它们相乘即可。

这个问题的关键在于，怎样将一个数拆分成 $2$ 的幂之和？我们来看一下他们在二进制下的样子：

可以看到， $105$ 的二进制中有 $4$ 个 $1$ ，而 $2$ 的幂的数都只有一个 $1$ ，并且刚好和 $105$ 的四个 $1$ 位置一样。所以，只要将 $105$ 二进制中的 $1$ 拆开，就能得到 $2$ 的幂的数字是哪些了。

而因为一个数 $n$ 的二进制最多只有 $\log n$ 位，所以时间复杂度为 $O (\log n)$ 。

Part 3 实现

就决定是你了！快速幂模板！

先上代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll expow(ll a, ll n, ll p) {
    ll r = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) r = r * a % p;
        a = a * a % p, n >>= 1;
    }
    return r;
}

int main() {
    ll a, b, p;
    cin >> a >> b >> p;
    cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=" << expow(a, b, p);
    return 0;
}

输入和输出就不用我讲了，重点是 $expow$ 函数。我把快速幂函数提取出来（先不取模）：

typedef long long ll;

ll expow(ll a, ll n) {
    ll r = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) r *= a;
        a *= a, n >>= 1;
    }
    return r;
}

比如计算 $7^{105}$ 。

首先，我们用一个 $r esult$ 来存储结果，初始时为 $1$ 。接着，有一个 $while$ 循环，其实就是遍历 $n$ 在二进制下的每一位。如果当前这一位是 $1$ ，即 $n$ 对 $1$ 按位与的结果为 $1$ ，则可以拆分，将 $r$ 乘上 $a$ 。每过一位， $a$ 就变为 $a^{2}$ ，即模拟倍增的过程。然后还要将 $n$ 除以 $2$ ，用位运算表示就是右移一位，获取下一位。最后返回结果 $r$ 。可以辅助图片理解。

这样就可以用 $O (\log n)$ 的速度计算 $a^{n}$ 了。

小扩展：幂取模

即计算 $a^{n} mod p$ 。

只需要在快速幂的模板里稍微改动一下。在做乘法运算时，顺带取模就行了。

幂取模模板代码如下：

typedef long long ll;

ll expow(ll a, ll n, ll p) {
    ll r = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) r = r * a % p;
        a = a * a % p, n >>= 1;
    }
    return r;
}