单调队列优化背包
单调队列优化背包
单调队列：
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概念：单调队列是一个双端队列，内部元素具有单调性（单调增或单调减），且保持先插入的一定在后插入的前面（也就是维护第二个值——在原序列中的编号，是递增的）；
有两个操作：
- 插入：从对尾插入，和目前对尾作比较，如果会破坏单调性就删除，直到找到不会破坏单调性的位置为止；
- 获取：直接从对头获取就OK，如果对头的序号（插入时所维护的第二个值，也就是在一个序列中的编号，再单调队列里是递增的）不满足要求就删除找下一个；
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用途：
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用来求一段固定区间的最大值或最小值，例如滑动窗口就是道很典型的题；
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优化有关固定区间长度转移的DP，例如转移方程形如：
\[dp[i]=min/max\{dp[j]\},(j\in(i-m,i)) \]可以使用单调队列来优化；
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优化多重背包，这也是这篇博客的主题；
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单调队列优化多重背包
（下面都是我的个人观点，个人认为比较通俗易懂，适合像我这样的蒟蒻食用（逃））
定义\(f[i][j]\)为前\(i\)个物品使用容量\(j\)所能获得的最大价值；
对于一个容量为\(C\)的背包，对于\(d\)个价值为$ w\(，体积为\)v$ 物品；
那么对于\(f[i][j]\)它只能从\(f[i-1][j-k*v](k\leq d\ and\ k*v\leq j)\)转移过来；
对于任何一个\(j\) ，都有\(j=a*v+b\) ，那么\(f[i-1][j-k*v]\Rightarrow f[i-1][(a-k)*v+b]\) ，由此可以看出我们可以把\(f[i][j]\)的转移由不同的余数\(b\)分为\(v\)类，这里给出一个直观的状态转移方程（\(b\)可以把它当做一个常数）：
（ps：由此往上你都可以通过画图（我是把它想像成了一个能量条来理解（滑稽）） 来感性理解，下面的就不太好感性理解了，我曾试图感性理解，但发现很容易就会想偏，所以不太推荐感性理解）
手动变形一下：(ps:这里\(a\)还是原来的意思,然后用\(k\)代替了\((a-k)\))
这里可以把\(a*w_i\)提出来，这样就成了你平常见到的单调队列优化的方程了：
你看，这样是不是就很类似上面的单调队列的用途\(2\)的DP方程了；
根据这个方程，我们就可以用单调队列了，找\(f[i-1][k*v_i+b]+k*w_i\)在右端点为\(a\)长度为\(d\)的区间中的最大值（这里把\(f[i-1][k*v_i+b]+k*w_i\)看成序列中的元素，\(a,k\)都为序列的下标）；
这里\(f[][]\)可以用滚动数组降一维；（这个大家应该都会）
如果还有什么不懂的地方，可以结合代码来加深理解；
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int f[N];
int n,m,C;
int q[N],val[N];
inline int read()
{
int f=1;
char ch;
while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') f=-1;
int res=ch-'0';
while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0';
return res*f;
}
inline void solve(int v,int w,int d)//单调队列优化。
{
for(int b=0;b<v;b++)
{
int k=0,head=1,tail=0;
for(int j=b;j<=C;j+=v,k++)
{
int tmp=f[j]-k*w;
while(head<=tail&&tmp>val[tail]) tail--;//滚动数组，所以要先插入。
q[++tail]=k,val[tail]=tmp;
while(head<=tail&&k-q[head]>d) head++;
f[j]=val[head]+k*w;
}
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("travel.in","r",stdin);
freopen("travel.out","w",stdout);
#endif
n=read(),m=read(),C=read();
for(int i=1,v,w,d;i<=n;i++)
{
v=read(),w=read(),d=read();
solve(v,w,d);
}
for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++)
{
a=read(),b=read(),c=read();
for(int j=C;j>=0;j--)
for(int k=0;k<=j;k++)
f[j]=max(f[j],f[j-k]+k*k*a+k*b+c);
}
printf("%d",f[C]);
return 0;
}
对于第二种情况，直接\(c^2\)暴力枚举就好了，千万不要考虑二次函数的优化，数据有锅，越优化越慢，不信你去题解里找到那篇优化了的交一下，T飞。（不知道是不是我背）
这道题还考你卡常的技巧，卡卡常就过了，还要看评测机给不给力，运气好的话，一遍就过了，如果不行就多交几遍（本人亲身经历） 。
对于这道题，你还可以试试二进制拆分，不过据说会T两个点（卡卡常说不定就过了）。
